2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Ba đường cao AE, BF, CG cắt nhau tại H (với E thuộc BC, F thuộc AC, G
thuộc AB).
a/ Chứng minh các tứ giác AFHG và BGFC là các tứ giác nội tiếp.
b/ Gọi I và M lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp của các tứ giác AFHG và BGFC. Chứng minh MG là tiếp tuyến của đường tròn tâm I .
c/ Gọi D là giao điểm thứ hai của AE với đường tròn tâm O. Chứng minh: EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = 4R2.
a) Xét Δ AFH vuông tại F => A, F, H thuộc đường tròn đường kính AH
ΔAGH vuông tại G => A, G, H thuộn đường tròn đường kính AH
=> Tứ giác AFHG nội tiếp đường tròn đường kính AH
CMTT => BGFC nội tiếp đường tròn đường kính BC
b) Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHG => I là trung điểm AH
M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGFC => M là trrung điểm BC
Xét ΔAHG vuông tại G, trung tuyến GI => GI = IA = IH => ΔIAG cân tại I => \(\widehat{IAG}=\widehat{IGA}\)
CMTT => \(\widehat{MCG}=\widehat{MGC}\). Mà \(\widehat{MCG}=\widehat{IAG}\) (cùng phụ \(\widehat{GBC}\)) => \(\widehat{MGC}=\widehat{IGA}\)
=> \(\widehat{IGA}+\widehat{IGH}=\widehat{MGC}+\widehat{IGH}=\widehat{IGM}=90^o\) => IG ⊥ MG
=> MG là tiếp tuyến đường tròn tâm I
c) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O) => \(\widehat{ACK}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ΔACK vuông tại C => \(\widehat{KAC}=90^o-\widehat{AKC}\)
ΔABE vuông tại E => \(\widehat{EAB}=90^o-\widehat{ABE}\) hay \(\widehat{DAB}=90^o-\widehat{ABC}\)
Xét đường tròn (O) có \(\widehat{ABC}=\widehat{AKC}\) (cùng chắn \(\stackrel\frown{AC}\))
=> \(90^o-\widehat{AKC}=90^o-\widehat{ABC}\) => \(\widehat{DAB}=\widehat{KAC}\) => \(\stackrel\frown{BD}=\stackrel\frown{KC}\) (góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau)
=> BD = KC (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)
Xét ΔAKC vuông tại C, theo định lý Pytago có: AC2 + KC2 = AK2
Xét ΔAEC vuông tại E, theo định lý Pytago có: EA2 + EC2 = AC2
ΔBED vuông tại E, theo định lý Pytago có: EB2 + ED2 = BD2
Mà BD = KC (cmt) => BD2 = KC2 => EB2 + ED2 = KC2
=> EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = AC2 + KC2 = AK2 = (2R)2 = 4R2
.