\(\Delta BMC:\widehat{BMC}=90^0;OB=OC\Rightarrow OM=OB=OC\Rightarrow\widehat{OMC}=\widehat{ACB}\left(1\right)\)(do tam giác OMC cân)

\(\Delta AMH:\widehat{AMH}=90^0;AI=HI\Rightarrow AI=HI=IM\Rightarrow\widehat{IAM}=\widehat{IMA}\left(2\right)\)(do tam giác IAM cân)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\widehat{IMA}+\widehat{OMC}=\widehat{IAM}+\widehat{OCM}=90^0\Rightarrow\widehat{IMO}=90^0\)

Tương tự thì \(\widehat{INO}=90^0\)

Suy ra \(\widehat{NIM}+\widehat{NOM}=180^0\left(DPCM\right)\)

a: Xet ΔAMB vuông tại M và ΔANC vuông tại N có

góc MAB chung

=>ΔAMB đồng dạng với ΔANC
=>AM/AN=AB/AC

=>AM*AC=AN*AB; AM/AB=AN/AC

b: Xet ΔAMN và ΔABC co

AM/AB=AN/AC

góc A chung

=>ΔAMN đồng dạng với ΔABC

c: góc MPH=góc ACN

góc NPH=góc ABM

góc ACN=góc ABM

=>góc MPH=góc NPH

=>PH là phân giác củagóc MPN

Gọi F là giao điểm của AD và BC, I là giao điểm của AH và NE. Áp dụng định lí Ceva với tam giác ABc và chú ý MC = MA, ta có:

\(1=\frac{NA}{NB}.\frac{FB}{FC}.\frac{MC}{MA}=\frac{NA}{NB}.\frac{FB}{FC}.1\)

Do đó \(\frac{AN}{BN}=\frac{CF}{BF}\) (1)

Theo định lí Thales đảo thì NF // AC

Từ (1) theo t/c tỉ lệ thức:

\(\frac{AN}{AB}=\frac{AN}{AN+BN}=\frac{CF}{CF+BF}=\frac{CF}{CB}\left(2\right)\)

Áp dụng định lí Menelaus cho các tam giác BEN và BEF, ta có:

\(\frac{IE}{IN}.\frac{AN}{AB}.\frac{HB}{HE}=1=\frac{DE}{DF}.\frac{CF}{CB}.\frac{HB}{HE}\left(3\right)\)

Từ (2) và (3) suy ra \(\frac{IE}{IN}=\frac{DE}{DF}\)

Do đó, theo định lí Thales đảo, NF // ID (4)

Từ (2) và (4) với chú ý AC vuông góc AN, suy ra ID vuông góc AN.

Kết hợp ND \(\perp\) AI => AD \(\perp\)NI.

Do vậy ^NEA = 90^o