Lời giải:

Với $I$ là trung điểm của $BC$ thì \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

Ta có:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\)

\(=2\overrightarrow{AI}+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})\)

\(=2\overrightarrow{AI}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) (đpcm)

b) Gọi giao điểm của $AG$ với $BC$ là $T$

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}\)

\(=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IC}\)

\(=2\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{GI}\)

Theo tính chất đường trung tuyến thì \(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GI}\) nên:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

a: vẽ vecto CN=vecto AB

(vecto AB;vecto CA)=(vecto CN;vecto CA)=góc ACN=120 độ

b: (vecto AB;vecto MC)

=(vecto CN;vecto CH)

=góc NCH

=120 độ

c) \(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{BC}\ne\overrightarrow{GA}\)

d) \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GM}\ne\overrightarrow{GM}\)

Bài 2:

Gọi M là trung điểm của AB,N là trung điểm của CD

vecto GA+vecto GB+vecto GC+vecto GD=vecto 0

=>2 vetco GM+2 vecto GN=vecto 0

=>vecto GM+vecto GN=vecto 0

=>G là trung điểm của MN

b: \(\left|\overrightarrow{GB}\right|=GB=GA=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

c: \(\left|\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\right|\)

\(=\sqrt{GA^2+GB^2+2\cdot GA\cdot GB\cdot cos\left(GA,GB\right)}\)

\(=\sqrt{2\cdot\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2+2\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{-1}{2}}\)

\(=\sqrt{2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot a^2-\dfrac{a^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{3}}\)

toán lớp mấy đó bạn

Mình giải được rồi nheeee

\(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{5}{6}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)

a) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có: 

 BC² = AC² + AB²

25² = 15² + AB² \(\Rightarrow ab=20\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC có:

  AC < AB < BC nên \(\widehat{CBA}< \widehat{BCA}< \widehat{BAC}.\)

b)  Xét tam giác vuông EHA và tam giác vuông EHC có:

Cạnh EH chung

HC = HA

\(\Rightarrow\Delta EHC=\Delta EHA\)  (Hai cạnh góc vuông)

Do \(\Delta EHC=\Delta EHA\Rightarrow\widehat{ECA}=\widehat{EAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{EBA}=\widehat{EAB}\)    (Cùng phụ với hai góc bên trên)

Vậy nên tam giác EAB cân tại E.

c) Tam giác CBN cân tại C có CA là đường cao nên CA đồng thời là trung tuyến. 

Xét tam giác CBN có CA và BF là các đường trung tuyến mà CA giao BF tại G nên G là trọng tâm tam giác.

Theo tính chất trọng tâm ta có:

\(\frac{AG}{AC}=\frac{1}{3}\Rightarrow AG=\frac{1}{5}.15=5\left(cm\right)\)

d) Xét tam giác CBN cân tại C có CA là đường cao nên đồng thời là phân giác.

Gọi giao điểm của EH với CN là F'. Khi đó ta có \(\Delta ECH=\Delta F'CH\)   (Cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

\(\Rightarrow CE=CF'\)

Lại có \(CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}CN\Rightarrow CF'=\frac{1}{2}CN\)

Suy ra F' là trung điểm CN hay F' trùng F.

Vậy nên E, H, FA thẳng hàng.

Bài giải : 

a) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có: 

 BC² = AC² + AB²

25² = 15² + AB² ⇒ab=20(cm)

Xét tam giác ABC có:

  AC < AB < BC nên ^CBA<^BCA<^BAC.

b)  Xét tam giác vuông EHA và tam giác vuông EHC có:

Cạnh EH chung

HC = HA

⇒ΔEHC=ΔEHA  (Hai cạnh góc vuông)

Do ΔEHC=ΔEHA⇒^ECA=^EAC

⇒^EBA=^EAB    (Cùng phụ với hai góc bên trên)

Vậy nên tam giác EAB cân tại E.

c) Tam giác CBN cân tại C có CA là đường cao nên CA đồng thời là trung tuyến. 

Xét tam giác CBN có CA và BF là các đường trung tuyến mà CA giao BF tại G nên G là trọng tâm tam giác.

Theo tính chất trọng tâm ta có:

AGAC =13 ⇒AG=15 .15=5(cm)

d) Xét tam giác CBN cân tại C có CA là đường cao nên đồng thời là phân giác.

Gọi giao điểm của EH với CN là F'. Khi đó ta có ΔECH=ΔF'CH   (Cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

⇒CE=CF'

Lại có CE=12 BC=12 CN⇒CF'=12 CN

Suy ra F' là trung điểm CN hay F' trùng F.

Vậy nên E, H, FA thẳng hàng.