\(M=\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}\\ M=\frac{x+y+z}{z}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{x}-\frac{z}{z}-\frac{y}{y}-\frac{x}{x}\\ M=\left(x+y+z\right).\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)-1-1-1\\ M=2020.\frac{1}{202}-3\\ M=10-3\\ M=7\)

Sửa lại đề là tính \(M=\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}\) nhé.

Ta có:

\(M=\frac{x+y}{z}+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}.\)

\(\Rightarrow M=\frac{x+y+z}{z}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{x}-\frac{z}{z}-\frac{y}{y}-\frac{x}{x}\)

\(\Rightarrow M=\left(x+y+z\right).\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)-1-1-1\)

Mà \(x+y+z=2020;\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{202}.\)

\(\Rightarrow M=2020.\frac{1}{202}-3\)

\(\Rightarrow M=10-3\)

\(\Rightarrow M=7\)

Vậy \(M=7.\)

Chúc bạn học tốt!

Các bạn ơi cô mình giảng hình như thế này :
Ta có : x+y+z =2020

x + y = 2020 -y

x+z =2020 - y

y+z =2020 -z

Ta có :

\(\frac{2020-z}{z}\) = ...

Như thế đó maong các bạn giải như thế

Trần Quốc Tuấn hi bạn đăng câu hỏi 1 lần thôi nhé .....mik vừa trl cho bạn ở câu trc r

Bn ko nên đăng 1 câu hỏi nhiều lần nếu còn vậy thì t sẽ xóa câu hỏi của bn

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P=4\\P=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy \(P=4;P=-4.\)

Chúc bạn học tốt!

Sửa lại đề là \(D=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}\le\frac{3}{4}.\)

Chúc bạn học tốt!

Nếu đề có sai các bạn tự sửa và làm hộ mình nhé

3.

\(x+y+z=xyz.\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(0\le x\le y\le z.\)

\(\Rightarrow x+y+z\le z+z+z\)

\(\Rightarrow x+y+z\le3z\)

\(\Rightarrow xyz\le3z\)

\(\Rightarrow xy\le3\)

\(\Rightarrow xy\in\left\{1;2;3\right\}.\)

Ta có 3 trường hợp:

+) TH1: \(xy=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1+1+z=1.1.z\)

\(\Rightarrow2+z=z\)

\(\Rightarrow2=z-z\)

\(\Rightarrow2=0\left(loại\right).\)

+) TH2: \(xy=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\) (vì \(x\le y\)).

\(\Rightarrow1+2+z=1.2.z\)

\(\Rightarrow3+z=2z\)

\(\Rightarrow3=2z-z\)

\(\Rightarrow3=1z\)

\(\Rightarrow z=3\left(TM\right).\)

+) TH3: \(xy=3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\) (vì \(x\le y\)).

\(\Rightarrow1+3+z=1.3.z\)

\(\Rightarrow4+z=3z\)

\(\Rightarrow4=3z-z\)

\(\Rightarrow4=2z\)

\(\Rightarrow z=2\left(TM\right).\)

Vậy các cặp số nguyên dương \(\left(x;y;z\right)\) thỏa mãn đề bài là: \(\left(1;2;3\right),\left(1;3;2\right),\left(2;1;3\right),\left(2;3;1\right),\left(3;1;2\right),\left(3;2;1\right).\)

Chúc bạn học tốt!

2.

+) Nếu \(x+y+z+t=0\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\left(z+t\right)\\z+t=-\left(y+z\right)\\y+z=-\left(x+t\right)\\t+x=-\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có :

\(M=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)

\(=\frac{-\left(z+t\right)}{z+t}+\frac{-\left(x+t\right)}{x+t}+\frac{-\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{-\left(y+z\right)}{y+z}\)

\(=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)\)

\(=-4\)

+) Nếu \(x+y+z+t\ne0\)

Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=y+z+t\\3y=x+z+t\\3z=x+y+t\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=x+y+z+t\\4y=x+y+z+t\\4z=x+y+z+t\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=t\)

Ta có :

\(M=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)

\(=\frac{2x}{2x}+\frac{2x}{2x}+\frac{2x}{2x}+\frac{2x}{2x}\)

\(=1+1+1+1=4\)

Vậy..

M = x+y/z + x+z/y + y+z/x

M = x+y+z/z + x+y+z/y + x+y+z/x - z/z - y/y - x/x

M = (x+y+z).(1/z + 1/y + 1/x) - 1 - 1 - 1

M = 2020.1/202 - 3

M = 10 - 3 = 7