Vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) nên theo hệ thức VI-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+5\\x_1x_2=3m+6\end{matrix}\right.\)

Mà \(x_1,x_2\) là độ dài của hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5  nên ta có:\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=25\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=25\Rightarrow\left(m+5\right)^2-2\left(3m+6\right)=25\Leftrightarrow m^2+10m+25-6m-12=25\Leftrightarrow m^2+4m-12=0\Leftrightarrow m^2-2m+6m-12=0\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m+6\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-6\end{matrix}\right.\) b Vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) nên theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-6\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow T=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(2m-6\right)^2-2\left(2m-2\right)=4m^2-24m+36-4m+4=4m^2-28m+40=4m^2-28m+49-9=\left(2m-7\right)^2-9\ge-9\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2}\)

\(\Delta=\left(m+5\right)^2-4\left(3m+6\right)=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\) ;\(\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+5\\x_1x_2=3m+6\end{matrix}\right.\) 

Do \(x_1;x_2\) là độ dài 2 cạnh tam giác nên \(x_1>0;x_2>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+5>0\\3m+6>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-2\)

Khi đó, áp dụng định lý Pitago:

\(x_1^2+x_2^2=5^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(m+5\right)^2-2\left(3m+6\right)=25\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-6< -2\left(loại\right)\\m=2\end{matrix}\right.\)

a: Khi m=3 thì (1): x^2-3x+2*3-4=0

=>x^2-3x+2=0

=>x=1 hoặc x=2

b:

Δ=(-m)^2-4(2m-4)

=m^2-8m+16=(m-4)^2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m-4<>0

=>m<>4

Theo đề, ta có: x1^2+x2^2=13

=>(x1+x2)^2-2x1x2=13

=>m^2-2(2m-4)=13

=>m^2-4m+8-13=0

=>m^2-4m-5=0

=>(m-5)(m+1)=0

=>m=5 hoặc m=-1

Gọi \(x_1,x_2\) là độ dài cạnh góc vuông của tam giác trên.

Áp dụng d/l Pytago, ta có : \(x_1^2+x_2^2=17\) \(\left(2\right)\)

\(x^2-\left(m+1\right)x+m=0\) \(\left(1\right)\)

Theo Vi - ét, ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)

Từ \(\left(2\right)\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=17\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-2m-17=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1-2m-17=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-16=0\)

\(\Leftrightarrow m=\sqrt{16}\)

\(\Leftrightarrow m=\pm4\)

cho PT:x^2-(m+1)x+m=0 (1)

-ta có:\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4m=m^2+2m+1-4m=\left(m-1\right)^2\ge0\) với mọi m

vậy với mọi m PT (1) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\)

theo vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{matrix}\right.\)

vì \(x_1x_2\) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là 17 nên \(x_1>0,x_2>0\) \(\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m+1>0\\\Rightarrow m>0vàx_1^2+x_2^2=17^2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m>2\end{matrix}\right.\)

ta có: \(x_1^2+x_2^2=17^2\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=289\) 

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-2m=289\)

\(\Leftrightarrow m^2=288\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m_1=\sqrt{288\left(TM\right)}\\m_2=-\sqrt{288\left(KTM\right)}\end{matrix}\right.\)

vậy\(m=\sqrt{288}\)

Phương trình  x 2 - m x + m 2 - 3 = 0  có hai nghiệm  x 1 ,   x 2  là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 2 khi và chỉ khi:

Δ = m 2 − 4 m 2 + 12 ≥ 0 S = x 1 + x 2 = m > 0 P = x 1 . x 2 > 0 x 1 2 + x 2 2 = 4 ⇔ 3 < m ≤ 4 m > 0 x 1 + x 2 2 − 2 x 1 x 2 = 4

⇔ 3 < m ≤ 2 m 2 − 2 m 2 − 3 = 4 ⇔ 3 < m ≤ 2 m 2 = 2 ⇔ m ∈ ∅

Đáp án cần chọn là: D

\(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-1\right)\)

\(=4m^2-4m^2+4\)

=4>0

vậy: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=4\)

\(\Leftrightarrow4m^2-2m^2+2=4\)

\(\Leftrightarrow2m^2=2\)

hay \(m\in\left\{1;-1\right\}\)