Cxho a,b > 0 thỏa \(a^3+b^3=a^5+b^5\)
Chứng minh rằng :\(a^2+b^2\le1+ab\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b là các số dương thỏa mãn \(a^3+b^3=a^5+b^5\)
Chứng minh rằng : \(a^2+b^2\le1+ab\)
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có
a^5 + a >= 2√(a^5.a);
hay a^5 >= 2a^3 - a.
Chứng minh tương tự, ta cũng có
b^5 >= 2b^3 - b.
Cộng hai bất đẳng thức theo vế ta được
a^5 + b^5 >= 2a^3 + 2b^3 - a - b,
hay a^3 + b^3 >= 2a^3 + 2b^3 - a - b,
hay a^3 + b^3 <= a + b (*).
Vì a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) nên bất đẳng thức (*) tương đương với
(a + b)(a^2 - ab + b^2) <= a + b,
hay a^2 - ab + b^2 <= 1,
hay a^2 + b^2 <= ab + 1.
Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b là các số dương thỏa mãn : \(a^3+b^3=a^5+b^5\) Chứng minh rằng : \(a^2+b^2\le1+ab\)
cho a,b>0 thỏa mãn a3+b3 =a5+b5.chứng minh \(a^2+b^2\le1+ab\)
Cho các số a,b,c thỏa \(0\le a;b;c\le1\)
Chứng minh rằng:
a) \(a+b+c-ab-ac-bc\le1\)
b) \(a+b^2+c^3-ab-bc-ac\le1\)
1/ Cho a,b>0 , thỏa mãn ab = 1. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b+2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+b+ab}}\ge\sqrt{3}\)
2/ Cho a>0. Chứng minh rằng:
a+\(\dfrac{1}{a}\ge\sqrt{\dfrac{1}{a^2+1}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2+1}}\)
3/ Cho a, b>0. Chứng minh rằng:
2(a+b)\(\le1+\sqrt{1+4\left(a^3+b^3\right)}\)
cho a,b>0 thỏa mãn \(^{a^3+b^3=a-b}\). chứng minh \(a^2+b^2+ab\le1\)
\(< =>\left(a^2+b^2+ab\right)\le1< =>\left(a^2+b^2+ab\right)\left(a-b\right)\le a^3+b^3< =>a^3-b^3\le a^3+b^3< =>0\le b^3\)\(0\le b^2.b\)
Luôn đúng.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c thỏa mãn 1\(\ge\)a,b,c\(\ge\)0. chứng minh rằng \(a+b^2+c^3-ab-bc-ca\le1\)
\(0\le a,b,c\le1\Rightarrow b\ge b^2;c\ge c^3\)
\(\Rightarrow a+b^2+c^3\le a+b+c\)
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-b-a+ab\right)\left(1-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\le1-abc\le1\)
=> đpcm
cho 3 số thực a,b,c>0 thỏa mãn: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=5\)
Chứng minh rằng: \(\frac{17}{4}\le\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\le1+4\sqrt{2}\)
Cho a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3
a. Chứng minh rằng \(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\ge\sqrt{a^2+b^2+c^2+15}\)
b. Chứng minh rằng \(\sum\dfrac{a+1}{a^2+2a+3}\le1\)
a.
Bình phương 2 vế, BĐT cần chứng minh trở thành:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}+\sqrt{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}+\sqrt{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge6\)
Ta có:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(1+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cộng lại:
\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}+\sqrt{\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}+\sqrt{\left(c^2+1\right)\left(a^2+1\right)}\ge2\left(a+b+c\right)=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
b.
\(\sum\dfrac{a+1}{a^2+2a+3}=\sum\dfrac{a+1}{a^2+1+2a+2}\le\sum\dfrac{a+1}{4a+2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\sum\dfrac{a+1}{4a+2}\le1\Leftrightarrow\sum\dfrac{4a+4}{4a+2}\le4\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{2a+1}\ge1\)
Đúng đo: \(\dfrac{1}{2a+1}+\dfrac{1}{2b+1}+\dfrac{1}{2c+1}\ge\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)+3}=1\)
Đúng 1
Bình luận (0)