Bài 1:

a ) Ta có :  A là tổng các số hạng chia hết cho 3 => A \(⋮\)3                            

                  A có 3 không chia hết cho 9 => A không chia hết cho 9

=>  A \(⋮\)3 nhưng không chia hết cho 9

=> A không phải là số chính phương

Bài 2:

Gọi 2 số lẻ có dạng 2k+1 và 2q+1 (k,q thuộc N)

Có : A = (2k+1)^2+(2q+1)^2

           = 4k^2+4k+1+4q^2+4q+1

           = 4.(k^2+k+q^2+q)+2

Ta thấy A chia hết cho 2 nguyên tố

Lại có : 4.(q^2+q+k^2+k) chia hết cho 4 mà 2 ko chia hết cho 4 => A ko chia hết cho 4

=> A chia hết cho 2 nguyên tố mà A ko chia hết cho 4 = 2^2

=> A ko là số  chính phương

=> ĐPCM

giả sử n^2+2008 là 1 số chính phương

suy ra n^2+2008=a^2(a>0)

a^2-n^2=2008

(a-n)(a+n)=2008

thấy a+n>a-n

suy ra a+n)(a-n)= mấy nhân mấy đó (mik chưa tính)

thay vào tìm đc n

nhưng n không là stn

nên n^2+2008 ko là số chính phương vơi n là stn

 Đặt   \(n^2+2018=m^2\)

Ta có một  số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1

\(n^2+2018=m^2\)=>\(m^2-n^2=2018\)

xét số dư của \(m^2-n^2\)cho 4

ta có bảng 

\(m^2\)             0       1     1    0

\(n^2\)              0         1     0     1

\(m^2-n^2\) 0         0      1     -1

mà \(2018\equiv2\left(mod4\right)\)

mà một số cp chia co 4 dư o hoặc 1

vậy o  tìm đc số thoả mãn

 T I C  K nha!

Đặt \(n^2+2018=m^2\)

\(\Rightarrow m^2-n^2=2018\)

\(\Rightarrow\left(m-n\right)\left(m+n\right)=2018\)

Ta có \(m-n+m+n=2m⋮2\)

\(\Rightarrow\) m và n cùng tính chẵn lẻ

\(\Rightarrow m-n⋮2;m+n⋮2\)

\(\Rightarrow\left(m-n\right)\left(m+n\right)⋮4\)

Mà  \(2018\) không chia hết cho 4

\(\Rightarrowđpcm\)

Giả sử n^2+m=a^2

Vì m là ước dương của 2n^2 nên 2n^2=mk ( k∈N )

Suy ra n^2+m=n^2+(2n^2)/k=a^2

⇔n^2.k^2+2n^2.k=a^2.k^2

Suy ra :

k^2+2k=(ak/n)^2à số chính phương.

Suy ra  Vô lý vì k^2<k^2+2k<(k+1)^2

^ là mũ;/là phân số; . là nhân

chúc bạn học tốt

Nếu n là số lẻ n có dạng : 2k + 1 ( k\(\in\) N)

A = 2018 + ( 2k+ 1+ 1)² 

A = 2018 + (2k+2)²

A = 2018 + 4.( k+1)² ⇒ A  ⋮ 2 Nếu A là số chính phương 

⇒ A ⋮ 4 ( tính chất 1 số chính phương ) 

⇒ 2018 ⋮ 4 ( vô lý)

Nếu n là số chẵn  n =2k ( k \(\in\) N)

A = 2018 + ( 2k + 1)²; 

2k + 1 không chia hết cho 4 ⇒ ( 2k+1)² : 4 dư 1 ( tc của 1 số chính phương)

A = 2018 + ( 2k + 1)² : 4 dư 3 ⇒ A không phải là số chính phương vì một số chính phương chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.

Vậy không thể tồn tại n để 2018 + ( n +1)² là số chính phương 

Gỉa sử 2018 + \(n^2\) là số chính phương => 2018 + \(n^2\) = \(a^2\) ( a là số tự nhiên )
=> 2018 = \(a^2\)- \(n^2\) = (a - n)(a + n)
Ta có: (a + n) - (a - n) =  a + n - a +n = 2n ( chia hết cho 2 )

\(\Rightarrow\) 2 số m - n và m + n phải có cùng tính chẵn lẻ
Mà 2018 = 1.2018 = 2.1009 với các cặp số (1;2018) và (2;1009) đều không cùng tính chẵn lẻ 
Vậy ta kết luận:  2018 + n^2 không là số chính phương

Xin lỗi về phần giải trước do nhầm đề bài nên nó không đúng đâu nha

Ta có:

1!+2!+3!+4!=37

Suy ra 1!+2!+3!+...+n! không là số chính phương. Vì A có chữ số tận cùng bằng 7, 1!+2!+3!+4! có chữ số tận cùng bằng 7 và từ 5!+6!+...+n! có chũ số tận cùng bằng 0.

Do n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)

Đặt \(a=7^n+24=7^{2k+1}+24=7.49^k+24\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}49\equiv1\left(mod4\right)\\7\equiv3\left(mod4\right)\\24\equiv0\left(mod4\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow7.49^k+24\equiv3\left(mod4\right)\)

Mà các số chính phương chia 4 chỉ có các số dư 0 hoặc 1

\(\Rightarrow a\) không thể là SCP hay \(7^n+24\) ko là SCP với mọi số tự nhiên lẻ n