sd

Hình tự vẻ nha em

gợi ý, gọi O' là trung điểm của C'D'

dễ dàng cm được OO' là ĐTB của hình thanh CC'D'D. nên CC' ss DD' ss OO'

mặt khác, OO' là 1 phần đường kính qua trung điểm O' của dây cung C'D'

nên theo liên hệ ĐKDC thì OO' vuong goc C'D'

nên suy ra đpcm là CC' vuông góc với C'D'

chúc em học tập tốt em nhé

IC vuông góc IK

IC vg góc IK

Gọi H là trung điểm IK.

Ta có OH là đường trung bình của hình thang CDKI nên OH // IC. Mà OH $\perp$ IK nên IC $\perp$ IK.

Ta có: MC // ND (gt)

Suy ra tứ giác MCDN là hình thang

Lại có: OM + AM = ON + BN (= R)

Mà AM = BN (gt)

Suy ra: OM = ON

Kẻ OI ⊥ CD     (3)

Suy ra: IC = ID (đường kính dây cung)

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ACDN

Suy ra: OI // MC // ND     (4)

Từ (3) và (4) suy ra: MC ⊥ CD, ND ⊥ CD.

a) Xét (O) có 

\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{ACB}=90^0\)(Hệ quả góc nội tiếp)

hay \(\widehat{DCB}=90^0\)

Xét tứ giác DCBO có 

\(\widehat{DCB}\) và \(\widehat{DOB}\) là hai góc đối

\(\widehat{DCB}+\widehat{DOB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: DCBO là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a, Ta có:  E C A ^ + O C A ^ = 90 0 và A C H ^ + O A C ^ = 90 0

mà  O A C ^ = O C A ^  (do tam giác AOC cân tại O)

Suy ra E C A ^ = A C H ^

Khi đó  E A C ^ = H A C ^  (cùng lần lượt phụ với E C A ^ và  A C H ^ ), ta có đpcm

b, Chứng minh tương tự  suy ra BC là phân giác của  F B H ^

Từ đó, chứng minh được BC vuông góc HF (1)

Tam giác ABC có trung tuyến OC = 1 2 AB. Suy ra tam giác ABC vuông tại C , tức là BC vuông góc với AC (2)

Từ (1),(2) suy ra đpcm

c, Ta có : AE+BF =2OC=2R không đổi

d, Ta có   A E . B F ≤ A E + B F 2 4 = R 2

suy ra AE.BF lớn nhất =  R 2 óAE=BF=R

Điều này xẩy ra khi C là điểm chính giữa cung AB