cho 3 số a,b,c>0 thoả mãn \(a+b+c+2\sqrt{abc}=1\). Hãy tính: \(A=\sqrt{a\left(1-b\right)\left(1-c\right)}+\sqrt{b\left(1-c\right)\left(1-a\right)}+\sqrt{c\left(1-a\right)\left(1-b\right)}-\sqrt{abc}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a+b+c+2\sqrt{abc}=1\)Chứng minh biểu thức
A=\(\sqrt{a\left(1-b\right)\left(1-c\right)}+\sqrt{b\left(1-c\right)\left(1-a\right)}+\sqrt{c\left(1-a\right)\left(1-b\right)}-\sqrt{abc}+2015\)là hằng số
Có: \(a+b+c+2\sqrt{abc}=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+2\sqrt{abc}=1-b-c\\b+2\sqrt{abc}=1-a-c\\c+2\sqrt{abc}=1-a-b\end{cases}}\)
\(A=\sqrt{a\left(1-b\right)\left(1-c\right)}+\sqrt{b\left(1-c\right)\left(1-a\right)}+\sqrt{c\left(1-a\right)\left(1-b\right)}-\sqrt{abc}+2015\)
\(A=\sqrt{a\left(1-b-c+bc\right)}+\sqrt{b\left(1-a-c+ac\right)}+\sqrt{c\left(1-a-b+ab\right)}-\sqrt{abc}+2015\)
\(A=\sqrt{a\left(a+2\sqrt{abc}+bc\right)}+\sqrt{b\left(b+2\sqrt{abc}+ac\right)}+\sqrt{c\left(c+2\sqrt{abc}+ab\right)}-\sqrt{abc}+2015\)
\(A=\sqrt{\left(a^2+2a\sqrt{abc}+abc\right)}+\sqrt{\left(b^2+2b\sqrt{abc}+abc\right)}+\sqrt{\left(c^2+2c\sqrt{abc}+abc\right)}-\sqrt{abc}+2015\)
\(A=\sqrt{\left(a+\sqrt{abc}\right)^2}+\sqrt{\left(b+\sqrt{abc}\right)^2}+\sqrt{\left(c+\sqrt{abc}\right)^2}-\sqrt{abc}+2015\)
\(A=a+\sqrt{abc}+b+\sqrt{abc}+c+\sqrt{abc}-\sqrt{abc}+2015\)
\(A=a+b+c+2\sqrt{abc}+2015\)
\(A=1+2015=2016\)
Vậy:....
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: \(a+b+c+2\sqrt{abc}=1\).
Tính giá trị của biểu thức \(B=\sqrt{a\left(1-b\right)\left(1-c\right)}+\sqrt{b\left(1-c\right)\left(1-a\right)}+\sqrt{c\left(1-a\right)\left(1-b\right)}-\sqrt{abc}+2012\)
Cho a, b, c dương thỏa mãn: a+b+c+\(2\sqrt{abc}\) = 1. Tính giá trị biểu thức:
\(A=\sqrt{a\left(1-b\right)\left(1-c\right)}+\sqrt{b\left(1-c\right)\left(1-a\right)}+\sqrt{c\left(1-a\right)\left(1-b\right)}-\sqrt{abc}+2015\)
cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c+\(2\sqrt{abc}\)=1 . Tính giá trị biểu thức
P=\(\sqrt{a\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\)+\(\sqrt{b\left(1-c\right)\left(1-a\right)}\)+\(\sqrt{c\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)- \(\sqrt{abc}\)+2016
ĐỀ thi hsg toán 9 hải phòng năm 2016-2017
Ta có:\(\sqrt{a\left(1-b\right)\left(1-c\right)}=\sqrt{a\left(1-b-c+ab\right)}\)
\(=\sqrt{a\left(a+2\sqrt{abc}+bc\right)}=\sqrt{a\left(\sqrt{a}+\sqrt{bc}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(a+\sqrt{abc}\right)^2}=a+\sqrt{abc}\)
Tương tự ta CM dc:
\(\sqrt{b\left(1-c\right)\left(1-a\right)}=b+\sqrt{abc};\sqrt{c\left(1-a\right)\left(1-b\right)}=c+\sqrt{abc}\)
\(\Rightarrow P=a+\sqrt{abc}+b+\sqrt{abc}+c+\sqrt{abc}-\sqrt{abc}+2016\)
\(P=a+b+c+2\sqrt{abc}+2016\)
\(P=1+2016=2017\)
Cho các số thực a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left(a-b\right)\sqrt[3]{1-c^3}+\left(b-c\right)\sqrt[3]{1-a^3}+\left(c-a\right)\sqrt[3]{1-b^3}=0\)
Chứng minh rằng \(\sqrt[3]{\left(1-a^3\right)\left(1-b^3\right)\left(1-c^3\right)}+abc=1\)
Cho a, b,c >0 thỏa mãn \(a+b+c+2\sqrt{abc}=1\). Tính:
\(A=\sqrt{a\left(1-b\right)\left(1-c\right)}+\sqrt{b\left(1-a\right)\left(1-c\right)}+\sqrt{c\left(1-a\right)\left(1-b\right)}-\sqrt{abc}+2017\)
Lời giải:
Từ ĐKĐB suy ra tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:
\((a,b,c)=\left(\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}; \frac{y^2}{(y+z)(y+x)}; \frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\right)\)
(lưu ý cách đặt ẩn phụ như thế này rất hữu ích trong các bài BĐT có điều kiện như trên)
Khi đó:
\(a(1-b)(1-c)=\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}\left(1-\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}\right)\left(1-\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\right)\)
\(=\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}.\frac{xy+yz+xz}{(y+z)(y+x)}.\frac{xy+yz+xz}{(z+x)(z+y)}=\left(\frac{x(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\right)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{a(1-b)(1-c)}=\frac{x(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)
Tương tự như vậy với các phân thức tương ứng còn lại.
\(\sqrt{abc}=\sqrt{\frac{x^2.y^2z^2}{((x+y)(y+z)(z+x))^2}}=\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)
Do đó:
\(A=\frac{x(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{y(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{z(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2017\)
\(A=\frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2017=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2017=1+2017=2018\)
cho a,b,c.>0 thoả mãn ab+bc+ac=1. CMR
\(\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2+\left(1-a\right)^2\left(1-b\right)^2\left(1-c\right)^2\ge8\sqrt{3}abc\)
Cho ba số thực không âm \(a;b;c\) và thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). Chứng minh rằng :
\(\sqrt{\left(a+b+1\right).\left(c+2\right)}+\sqrt{\left(b+c+1\right).\left(a+2\right)}+\sqrt{\left(c+a+1\right).\left(b+2\right)}\ge9\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ, em cám ơn rất nhiều ạ!
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=1. CMR
\(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+a\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1-b\right)}}\) bé hơn hoặc bằng \(\frac{3\sqrt{2}}{8}\)
Chú ý đến giả thiết a + b + c = 1 ta viết được \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1-c\right)\left(1+c\right)}}=\)\(\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{1-c^2}}=\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-c^2}}\)\(=\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được \(a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge2ab+2\left(ab+bc+ca\right)=\)\(2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)\)và \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Từ đó dẫn đến \(\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab}\sqrt{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)\(=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)
Mà theo bất đẳng thức quen thuộc \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\le\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)}+\frac{ab}{2\left(ab+ca\right)}\right)}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{ab}{ab+bc}+\frac{ab}{ab+ca}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}\)
Từ đó ta có bất đẳng thức: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}\)(1)
Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+a\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}\)(2) ; \(\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\)(3)
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\)\(\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\right)\)
Ta cần chứng minh\(\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\right)\le\frac{3\sqrt{2}}{8}\)
Hay \(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\le3\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\)
\(\le\sqrt{3\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}\right)}=3\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Sửa đề: \(\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\)