Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nue nguyen

Cho a, b,c >0 thỏa mãn \(a+b+c+2\sqrt{abc}=1\). Tính:

\(A=\sqrt{a\left(1-b\right)\left(1-c\right)}+\sqrt{b\left(1-a\right)\left(1-c\right)}+\sqrt{c\left(1-a\right)\left(1-b\right)}-\sqrt{abc}+2017\)

Akai Haruma
10 tháng 2 2018 lúc 13:56

Lời giải:

Từ ĐKĐB suy ra tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:

\((a,b,c)=\left(\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}; \frac{y^2}{(y+z)(y+x)}; \frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\right)\)

(lưu ý cách đặt ẩn phụ như thế này rất hữu ích trong các bài BĐT có điều kiện như trên)

Khi đó:

\(a(1-b)(1-c)=\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}\left(1-\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}\right)\left(1-\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\right)\)

\(=\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}.\frac{xy+yz+xz}{(y+z)(y+x)}.\frac{xy+yz+xz}{(z+x)(z+y)}=\left(\frac{x(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\right)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{a(1-b)(1-c)}=\frac{x(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)

Tương tự như vậy với các phân thức tương ứng còn lại.

\(\sqrt{abc}=\sqrt{\frac{x^2.y^2z^2}{((x+y)(y+z)(z+x))^2}}=\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)

Do đó:

\(A=\frac{x(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{y(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{z(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(z+x)}-\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2017\)

\(A=\frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2017=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2017=1+2017=2018\)


Các câu hỏi tương tự
fghj
Xem chi tiết
Chiến Bá
Xem chi tiết
Khánh Ngọc
Xem chi tiết
Lê Anh Khoa
Xem chi tiết
Linh Le Thuy
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bình Yên
Xem chi tiết
Doãn Hoài Trang
Xem chi tiết
Anh Phạm Xuân
Xem chi tiết
Annie Scarlet
Xem chi tiết