Lời giải:

Ta có:

$AB.AC=AH.BC=40$ 

$AB^2+AC^2=BC^2=100$

$\Rightarrow (AB+AC)^2=AB^2+AC^2+2AB.AC=180$

$\Rightarrow AB+AC=6\sqrt{5}$

Theo định lý Viet đảo, $AB,AC$ là nghiệm của pt $X^2-6\sqrt{5}X+40=0$

$\Rightarrow AB=4\sqrt{5}; AC=2\sqrt{5}$ (giả sử $AB>AC$)
Dễ thấy $AIHK$ là hình chữ nhật do có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{I}=\widehat{K}=90^0$

$\Rightarrow IK=AH=4$

Theo định lý Pitago: $AI^2+AK^2=IK^2=16(1)$

Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AI.AB=AH^2$

$AK.AC=AH^2$

$\Rightarrow AI.AB=AK.AC\Rightarrow \frac{AI}{AK}=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{2}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow AI=\frac{4\sqrt{5}}{5}; AK=\frac{8\sqrt{5}}{5}$ (cm)

Chu vi AIHK:

$P=2(AI+AK)=2(\frac{4\sqrt{5}}{5}+\frac{8\sqrt{5}}{5})=\frac{24\sqrt{5}}{5}$ (cm)

Diện tích AIHK:

$S=AI.AK=\frac{4\sqrt{5}}{5}.\frac{8\sqrt{5}}{5}=6,4$ (cm vuông)

Hình vẽ:

Ta có tứ giác ADHE là hình chữ nhật (tứ giác có 4 góc vuông)

\(\Rightarrow S_{ADHE}=AD.HD\le\dfrac{1}{2}\left(AD^2+HD^2\right)=\dfrac{1}{2}AH^2\)

Mà theo hệ thức lượng: \(AH^2=BH.CH\)

\(\Rightarrow S_{ADHE}\le\dfrac{1}{2}BH.CH\le\dfrac{1}{8}\left(BH+CH\right)^2=\dfrac{1}{8}BC^2=2\left(cm^2\right)\)

Vậy \(S_{ADHE-max}=2\left(cm^2\right)\) khi tam giác ABC vuông cân tại A

a: Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=6^2+2^2=40\)

hay \(AB=2\sqrt{10}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔACH vuông tại H, ta được:

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=6^2+6^2=72\)

hay \(AC=6\sqrt{2}\left(cm\right)\)

trả lời hộ mình với