Question

cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 4cm. Đường cao AH,kẻ HI vuông góc AB, HK vuông góc AC,

Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AIHK

Answer 1

đặt AB=x

dễ chứng tam giác HBA và tam giác ABC đồng dạng => AB² =BH.BC <=> x² = 4BH => BH= \(\frac{x^2}{4}\)

pytago cho tam giác HAB : AB²= BH²+ AH² => AH² = x²- \(\frac{x^4}{16}\)=> AH = \(\frac{x}{4}\sqrt{16-x^2}\)

S_AIHK = HI.HK \(\le\frac{HI^2+HK^2}{2}=\frac{AH^2}{2}\)= \(\frac{x^2\left(16-x^2\right)}{32}\)

áp dụng ab\(\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)=> \(x^2\left(16-x^2\right)\le\frac{\left(x^2+16-x^2\right)^2}{4}=\frac{16^2}{4}\)

=> SAIHK \(\le\frac{16^2}{4.32}=2\)

Đạt được khi HI=HK và x²=16-x² => x=AB= 2\(\sqrt{2}\) 

HI=HK => ABC vuông cân ở A