Cho a,b,c là những số nguyên chẵn khác 0 thỏa mãn điều kiện :
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)chứng minh rằng \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 24
cho a,b,c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}...\).Chứng minh rằng a^3 + b^3 + c^3 chia hết cho 3
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\)
Ta có
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
=> ĐPCM
Ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{abc}=0\)
Mà \(a,b,c\)là số nguyên khác 0 \(\Rightarrow\)\(abc\ne0\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c=0\)\(\Rightarrow a+b=-c\)
Ta lại có: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^3-3.\left(a+b\right).c.\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b\right)\)
\(=0-0-3ab\left(-c\right)\)
\(=3abc⋮3\)
Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc⋮3\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c=0\)
Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn điều kiện a+b+c=0
Chứng Minh Rằng \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}\right)^2+\left(\frac{1}{b}\right)^2+\left(\frac{1}{c}\right)^2+2\frac{1}{ab}+2\frac{1}{bc}+2\frac{1}{ac}\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}\)
\(\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=0\\ 2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=0\)
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=0\\ \frac{abc^2+a^2bc+ab^2c}{a^2b^2c^2}=0\)
\(abc^2+a^2bc+ab^2c=0\\ abc\left(c+a+b\right)=0\)
\(a+b+c=0\)(DPCM)
Cho a,b,c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn : \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)Cmr (\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\)chia hết cho 3
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=0\)
Xét : \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right).\left(b+c\right).\left(c+a\right)=-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) luôn chia hết cho 3
1. Cho 2 số thực a, b thỏa điều kiện ab = 1, a + b khác 0. Tính GTBT:
\(P=\frac{1}{\left(a+b\right)^3}\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)+\frac{3}{\left(a+b\right)^4}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)+\frac{6}{\left(a+b\right)^5}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
2. Giải phương trình \(2x^2+x+3=3x\sqrt{x+3}\)
3. Chứng minh rằng \(abc\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)\left(c^3-a^3\right)⋮7\) với mọi a, b, c nguyên.
4. Cho 2 số dương a, b thỏa mãn \(a+b\le1.\) Chứng minh rằng: \(a^2-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\le-\frac{9}{4}\)
Cần GẤP nhé m.n!!! m.n ko cần phải làm hết đâu...
Bài 1:Với \(ab=1;a+b\ne0\) ta có:
\(P=\frac{a^3+b^3}{\left(a+b\right)^3\left(ab\right)^3}+\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)^4\left(ab\right)^2}+\frac{6\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^5\left(ab\right)}\)
\(=\frac{a^3+b^3}{\left(a+b\right)^3}+\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)^4}+\frac{6\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^5}\)
\(=\frac{a^2+b^2-1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)^4}+\frac{6}{\left(a+b\right)^4}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2-1\right)\left(a+b\right)^2+3\left(a^2+b^2\right)+6}{\left(a+b\right)^4}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2-1\right)\left(a^2+b^2+2\right)+3\left(a^2+b^2\right)+6}{\left(a+b\right)^4}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2+4\left(a^2+b^2\right)+4}{\left(a+b\right)^4}=\frac{\left(a^2+b^2+2\right)^2}{\left(a+b\right)^4}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2+2ab\right)^2}{\left(a+b\right)^4}=\frac{\left[\left(a+b\right)^2\right]^2}{\left(a+b\right)^4}=1\)
Bài 2: \(2x^2+x+3=3x\sqrt{x+3}\)
Đk:\(x\ge-3\)
\(pt\Leftrightarrow2x^2-3x\sqrt{x+3}+\sqrt{\left(x+3\right)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-2x\sqrt{x+3}-x\sqrt{x+3}+\sqrt{\left(x+3\right)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow2x\left(x-\sqrt{x+3}\right)-\sqrt{x+3}\left(x-\sqrt{x+3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x+3}\right)\left(2x-\sqrt{x+3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x+3}=x\\\sqrt{x+3}=2x\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+3=x^2\left(x\ge0\right)\\x+3=4x^2\left(x\ge0\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-x-3=0\left(x\ge0\right)\\4x^2-x-3=0\left(x\ge0\right)\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\x=1\end{cases}\left(x\ge0\right)}\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2\sqrt{ab}\le a+b\le1\Rightarrow b\le\frac{1}{4a}\)
Ta có: \(a^2-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\le a^2-\frac{3}{4a}-4a^2=-\left(3a^2+\frac{3}{4a}\right)\)
\(=-\left(3a^2+\frac{3}{8a}+\frac{3}{8a}\right)\le-3\sqrt[3]{3a^2\cdot\frac{3}{8a}\cdot\frac{3}{8a}}=-\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le16\left(a+b+c\right)\). Chứng minh rằng:\(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{8}{9}\)
Áp dụng giả thiết và một đánh giá quen thuộc, ta được: \(16\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{ab+bc+ca}\)hay \(\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\le\frac{8}{9}\)
Đến đây, ta cần chứng minh \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}}\)hay \(\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3\ge\frac{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(\frac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\); \(\frac{1}{\left(c+a+2\sqrt{c+b}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)
Đây là một đánh giá đúng, thật vậy: đặt a + b + c = p; ab + bc + ca = q; abc = r thì bất đẳng thức trên trở thành \(pq-r\ge\frac{8}{9}pq\Leftrightarrow\frac{1}{9}pq\ge r\)*đúng vì \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\); \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\))
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng\(\frac{1}{a\left(a+b\right)}+\frac{1}{b\left(b+c\right)}+\frac{1}{c\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{^{a^4\left(a+b\right)}}+\frac{1}{b^4\left(b+c\right)}+\frac{1}{c^4\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{2}\)
bạn xem bài này tại đây:
http://d.violet.vn/uploads/resources/615/2779702/preview.swf
Cho a,b,c là các số nguyên khác 0 thỏa mãn
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
CMR : \(a^5+b^5+c^5\)chia hết cho 3
Cho a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le16\left(a+b+c\right)\), chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)}\le\frac{8}{9}\)
Ta có:
\(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}}\)
Hoàn toàn tương tự ta có:
\(\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\);
\(\frac{1}{\left(c+b+\sqrt{\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
Cộng theo bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\)
\(\le\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Do đó:
\(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\)
\(\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh, bất đẳng thức xày ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)