Bài 1: 

d) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=21^2+18^2=765\)

hay \(BC=3\sqrt{85}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{21}{3\sqrt{85}}\)

nên \(\widehat{C}\simeq49^023'\)

\(\Leftrightarrow\widehat{B}=40^037'\)

BA/AC=3/4

nên HB/HC=(3/4)^2=9/16

=>HB/9=HC/16=(HB+HC)/(9+16)=15/25=0,6

=>HB=5,4cm; HC=9,6cm

Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng các định lý trong hình học tam giác. a/ Để tính HB và HC, ta cần tìm độ dài đường cao AH trước. Với thông tin AH.AC = 3.5 và AC = 15cm, ta có thể tính được AH: AH = (AH.AC)/AC = (3.5)/(15) = 0.2333 cm Tiếp theo, ta xét tam giác ABC với tam giác ABC. góc B và đường cao AH. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có công thức: AB^2 = AH^2 + BH^2 Với độ dài AB = 15cm, ta có: 15^2 = 0,2333^2 + BH^2 225 = 0,0544 + BH^2 BH^2 = 224,9456 BH ≈ 14,998 cm Tương tự, ta có: HC ≈ 0,2333 cm Vậy HB ≈ 14,998 cm và HC ≈ 0,2333 cm. b/ Để chứng minh AH^3 = BC.BE.CF, ta sẽ sử dụng các tỷ lệ trong tam giác tương đồng. Kiểm định tam giác AHB và tam giác AFC, ta có: AH/AF = HB/FC 0.2333/AF = 14.998/(15 - FC) Tương tự, xét tam giác AHC và tam giác AEB, ta có: AH/AE = HC/EB 0.2333/AE = 0.2333/(15 - EB ) Từ hai tỷ lệ trên, ta có: AF/(15 - FC) = AE/(15 - EB) Nhân cả hai quan sát với (15 - FC)(15 - EB), ta có: AF(15 - EB) = AE(15 - FC) Vậy ta có BC.BE.CF = AF(15 - EB) = AE(15 - FC) = AH^2. Do đó, AH^3 = BC.BE.CF.

a: Sửa đề: AH/AC=3/5

Xét ΔAHC vuông tại H có sin C=AH/AC=3/5

Xét ΔABC vuông tại A có sin C=AB/BC

=>15/BC=3/5

=>BC=25(cm)

=>\(AC=\sqrt{25^2-15^2}=20\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên BH*BC=BA^2; CH*CB=CA^2

=>BH=15^2/25=9cm; CH=20^2/25=16cm

b: BC*BE*CF

=BC*BH^2/BA*CH^2/CA

=AH^4/AH

=AH^3

Đề đúng là: \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{3}{5}\). Bạn tự vẽ hình nhé.

(a) Theo đề: \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow AC=\dfrac{5}{3}AH\)

Ta có: \(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pythagoras\right)\)

\(\Leftrightarrow BC^2=15^2+\left(\dfrac{5}{3}AH\right)^2\Rightarrow BC=\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}\)

Lại có: \(AB^2=BC.HB\Leftrightarrow HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{15^2}{\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}}\)

Ta cũng có: \(AH^2=HB.HC=HB\left(BC-HB\right)=BC.HB-HB^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}\cdot\dfrac{15^2}{\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}}-\left(\dfrac{15^2}{\sqrt{225+\dfrac{25}{9}AH^2}}\right)^2\)

\(=15^2-\dfrac{15^4}{225+\dfrac{25}{9}AH^2}\)

\(\Rightarrow AH=12\left(cm\right)\)

Thay vào tính được: \(HB=9\left(cm\right);BC=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=BC-HB=25-9=16\left(cm\right)\)

(b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H:BE.AB=HB^2\Leftrightarrow BE=\dfrac{HB^2}{AB}\)

Tương tự, \(\Delta AHC\) vuông tại \(H:CF.AC=HC^2\Leftrightarrow CF=\dfrac{HC^2}{AC}\)

Ta có: \(BC.BE.CF=\left(\dfrac{AB.AC}{AH}\right)\cdot\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{HC^2}{AC}\)

\(=\dfrac{HB^2.HC^2}{AH}=\dfrac{\left(HB.HC\right)^2}{AH}=\dfrac{\left(AH^2\right)^2}{AH}=AH^3\left(đpcm\right)\)

Xét hai tam giác vuông HBA và HAC, ta có:

∠ (AHB) =  ∠ (AHC) =  90 0

∠ B =  ∠ (HAC) (hai góc cùng phụ C )

Suy ra: △ HBA đồng dạng  △ HAC (g.g)

Suy ra: 

Vậy A H 2 = B H . C H

Xét hai tam giác vuông HBA,HAC có:

∠ (BHA) =  ∠ (AHC) =  90 0

∠ B =  ∠ (HAC) (hai góc cùng phụ  ∠ C )

⇒ △ HBA đồng dạng △ HAC (g.g)

Suy ra: 

⇒ H A 2 = HB.HC = 4.9 = 36(cm)

Suy ra: AH = 6(cm)

Lại có: BM = 1/2 BC = 1/2 .(9+4) = 1/2 .13 = 6,5cm

Mà HM = BM – BH = 6,5 – 4 = 2,5cm

Vậy S A H M  = 1/2 AH.HN = 1/2 .6.2,5 = 7,5 c m 2

ta có 

tan C=\(\frac{AH}{CH}\)

=> CH=\(\frac{AH}{\tan C}\)

CH=\(\frac{6}{\frac{2}{3}}=6.\frac{3}{2}=9\left(cm\right)\)

Xét tam giác AHC vuông tại H:

AH²+HC²=AC² (py - ta -go)

AC²=6²+9²

AC²=117

=>AC=\(3\sqrt{13}\)(cm)

tan C = \(\frac{AB}{AC}\)

=>AB= tan C .AC

AB=\(\frac{2}{3}.3\sqrt{13}=2\sqrt{13}\)(cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A:

AB²+AC²=BC²

\(\left(3\sqrt{13}\right)^2+\left(2\sqrt{13}\right)^2=BC^2\)

BC²=169

=>BC=13 (cm)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^o\)

\(\widehat{B}\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HBA\left(g.g\right)\) (1)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{HB}{AB}\) hay \(\dfrac{AB}{4+9}=\dfrac{4}{AB}\Rightarrow AB^2=52\Rightarrow AB=\sqrt{52}=2\sqrt{13}cm\)

Xét \(\Delta\text{A}BC\) và \(\Delta HAC\) có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^o\)

\(\widehat{C}\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HAC\left(g.g\right)\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta HAB\sim\Delta HCA\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{HB}{AH}\) hay \(\dfrac{AH}{9}=\dfrac{4}{AH}\Rightarrow AH^2=36\Rightarrow AH=\sqrt{36}=6\left(cm\right)\)

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại A.

Áp dụng đinh lý Py-ta-go ta có:

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{\left(4+9\right)^2-\left(2\sqrt{13}\right)^2}=3\sqrt{13}cm\)

b) Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AH=\dfrac{1}{2}\cdot\left(4+9\right)\cdot6=39\left(cm^2\right)\)