sửa lại để:P=\(\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}\)

Cái đề thế này ah

\(\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

Vì \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\z\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge0\)

-_- Làm như thế để chết nhắm :v
Dấu = xảy ra x=y=z=0 => Hỏng .
@Aliba...

\(\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

áp dụng BĐT cô-si ta có :

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)

\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)

nhân vế với vế ta có 

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\sqrt{x^2y^2z^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)

\(\Leftrightarrow\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge\frac{xyz}{8xyz}=\frac{1}{8}\)

vậy GTNN là \(\frac{1}{8}\) khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)

:)

Làm nốt phần còn lại của bạn Thắng

(x + y - 5)² + 2(y - 1)² - 9 = 0

<=> 2(y - 1)² = 9 - (S - 5)² \(\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(S-5\right)^2\le9\)

\(\Leftrightarrow-3\le S-5\le3\)

\(\Leftrightarrow2\le S\le8\)

Vậy GTNN là 2 đạt được khi x = y = 1

GTLN là 8 đạt được khi (x, y) = (7, 1)

\(x^2+3y^2+2xy-10x-14y+18\)

\(\Rightarrow\left(x^2+2xy-10x+y^2-10y+25\right)+2y^2-4y-7=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y-5\right)^2+2y^2-4y+2-9=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y-5\right)^2+2\left(y^2-2y+1\right)-9=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y-5\right)^2+2\left(y-1\right)^2-9=0\)

....

x=7;y=±1 và x=y=1 và x=1; y=3 và x=y=3 và x=5;y=-1

mở dấu trị tuyệt đối ra rồi tính như bình thường

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức 

\(A\ge\frac{\left(1+\frac{2}{x}+1+\frac{2}{y}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[2+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]^2}{2}\)

Theo BĐT : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

hay \(\frac{\left(2+\frac{8}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(10\right)^2}{2}=\frac{100}{2}=50\)

Vậy \(A\ge50\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)