a) Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AB=BC\cdot\sin30^0\)

\(=10\cdot\dfrac{1}{2}=5\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=10^2-5^2=75\)

hay \(AC=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow AH\cdot10=5\cdot5\sqrt{3}=25\sqrt{3}\)

hay \(AH=\dfrac{25\sqrt{3}}{10}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A đường cao AH có
* AC²=BC²-AB²
  AC² = 100-36=64
  AC=8cm
* AC²=HC.BC
  64=HC.10
  HC=6,4cm

Ta có: \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

hay \(\widehat{B}=54^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AB=AC\cdot\tan26^0\)

\(\Leftrightarrow AB\simeq12,19\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow BC=\sqrt{25^2+12.19^2}\simeq27.81\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{12.19\cdot25}{27.81}\simeq10.96\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow HC=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{25^2}{27.81}\simeq22,47\left(cm\right)\)

t

tg ABC vuông tại A nên: AC= căn(BC² -AB²)= CĂN(10^2- 6^2) =8 cm

Có AH.BC= AB.AC

=> AH= (8.6)/10=4,8 cm

Có: AB²= BH.BC => BH=3,6 => CH=6,4

a, Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào \(\Delta ABC\) có \(\hat{BAC}=90^o\), \(AH\perp BC\) ta có:

\(AB^2=BH.BC\Leftrightarrow6^2=BH.10\Leftrightarrow BH=3,6\left(cm\right)\)

Ta có: \(BH+HC=BC\Leftrightarrow3,6+HC=10\Leftrightarrow HC=6,4\left(cm\right)\)

\(\Delta ABC\) có \(\hat{BAC}=90^o\), \(AH\perp BC\)

\(\Rightarrow AH^2=BH.HC\Leftrightarrow AH^2=3,6.6,4\Leftrightarrow AH^2=23,04\left(cm\right)\Leftrightarrow AH=4,8\left(cm\right)\)(hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)

P/S: Ngoài ra bạn cũng có thể dùng định lý Py-ta-go vào \(\Delta ABH, \hat{AHB}=90^o\) để tính AH, hoặc dùng định lý Py-ta-go vào \(\Delta ABC, \hat{BAC}=90^o\) để tính AC sau đó dùng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông \(\left(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\right)\)vào \(\Delta ABC, \hat{BAC}=90^o, AH\perp BC\)  để tính AH.

b, Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông lần lượt vào \(\Delta AHB, \hat{AHB}=90^o, HE\perp AB, \Delta AHC, \hat{AHC}=90^o, HF\perp AC \) và \(\Delta ABC, \hat{BAC}=90^o, AH\perp BC\) ta có:

\(AH^2=AE.AB\)(1)

\(AH^2=AF.AC\)(2)

\(AH^2=HB.HC\)(3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\)AE.AB = AF.AC = HB.HC

\(\Delta ABC, \hat{BAC}=90^o, AH\perp BC\)

b) Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có 

\(\widehat{ABH}\) chung

Do đó: ΔABH\(\sim\)ΔCBA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{HB}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=BC\cdot BH\)(đpcm)

Có gấp thế nào đi nữa thì phải đủ dữ kiện đề tụi tớ mới giúp được cậu nhé :))

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64\)

hay AC=8(cm)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}\)

mà AD+CD=AC=8cm(D nằm giữa A và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}=\dfrac{AD+CD}{6+10}=\dfrac{AC}{16}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AD}{6}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{CD}{10}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD=3\left(cm\right)\\CD=5\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: AD=3cm; CD=5cm 

góc B=90-30=60 độ

Xét ΔABC vuông tại A có sin C=AB/BC

=>AB/10=1/2

=>AB=5cm

=>\(AC=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

HB=AB^2/BC=2,5cm

HC=BC-BH=10-2,5=7,5cm

+xét tam giác ABC vuông tại A:

=> BC²=AC²+AB²(Định lý pytago)

hay BC²=16+9

BC²= 25

Mà BC>0

=> BC=5(cm)

+xét tam giác ABH vuông tại H và tam giác ABC vuông tại A có:

GÓC B: góc chung

góc A=góc H=90độ (tam giác ABC vuông tại A,AH:đường cao)

=> tam giác ABH đồng dạng với tam giác ABC(góc-góc)

=> BH/AB=BA/BC(các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay BH/3=3/5

=> BH=1,8(cm)

=> HC=5-1,8=4,8(cm) 

p/s: mình thấy sai sai , vì sao có dữ liệu phân giác góc C mà lại không dùng đến(bạn tham khảo thử bài mình thôi nhé).Các góc,đồng dạng,độ , bạn cùng kí hiệu.Thông cảm hình mình vẽ hơi tởm=))

Xét tam giác ABC vuông ta có: 

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{24^2+10^2}=26\left(cm\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{10^2}{26}\approx4\left(cm\right)\\HC=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{24^2}{26}\approx22\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét tam giác ABH vuông tại H áp dung Py-ta-go ta có: 

\(\Rightarrow AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{10^2-4^2}=2\sqrt{21}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{21}\cdot26=26\sqrt{21}\left(cm^2\right)\)

Ta có :

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pitago\right)\)

\(\Leftrightarrow BC^2=100+576=676\)

\(\Leftrightarrow BC=26\left(cm\right)\)

\(AB^2=BH.BC\Leftrightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{100}{26}=\dfrac{50}{13}\left(cm\right)\)

\(BC=BH-HC\)

\(\Leftrightarrow HC=BC-BH=26-\dfrac{50}{13}=\dfrac{288}{13}\left(cm\right)\)

\(AH^2=BH.HC=\dfrac{50}{13}.\dfrac{288}{13}=\dfrac{14400}{13^2}\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{120}{13}\left(cm\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.10.24=120\left(cm^2\right)\)

Hoặc : \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{120}{13}.26=120\left(cm^2\right)\)