cho K=ab+4ab -4bc với a,b,c là các số không âm thỏa mãn a+b+2c=1
a) Chứng minh K ≥ - \(\dfrac{1}{2}\)
b) Tìm giá trị lớn nhất của K
Cho K= ab+ 4ac - 4bc
Lớp 8:
cho K=ab+4ac - 4bc với a,b,c là các số không âm thỏa mãn a+b+2c=1
a) Chứng minh K ≥ - 1/2
b) Tìm giá trị lớn nhất của K
a) Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
\(4ac=2.b.2c\le2\left(\dfrac{b+2c}{2}\right)^2\le2\left(\dfrac{a+b+2c}{2}\right)^2=2.\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow-4bc\ge-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow K=ab+4ac-4bc\ge-4bc\ge-\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Cho biểu thức K = ab + 4ac – 4bc, với a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn: a + b + 2c = 1
1, Chứng minh K lớn hơn hoặc bằng – 1/2
2, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K
1
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
4ac=2.b.2c≤2(b+2c2)2≤2(a+b+2c2)2=2.(12)2=12
⇒−4bc≥−12
⇒K=ab+4ac−4bc≥−4bc≥−12
Cho K = ab + 4ac - 4bc. Biết a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn : a + b + 2c = 1.
a) Chứng minh: \(K\ge-\frac{1}{2}\)
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức K
Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(2ab+6bc+2ca=7abc\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\dfrac{4ab}{a+2b}+\dfrac{9ca}{a+4c}+\dfrac{4bc}{b+c}\)
\(P=\dfrac{4ab}{a+2b}+\dfrac{9ca}{a+4c}+\dfrac{4bc}{b+c}\)
\(P=\dfrac{4abc}{ac+2bc}+\dfrac{9abc}{ab+4bc}+\dfrac{4abc}{ab+ac}\)
\(P=abc\left(\dfrac{4}{ac+2bc}+\dfrac{9}{ab+4bc}+\dfrac{4}{ab+ac}\right)\)
\(P\ge abc.\dfrac{\left(2+3+2\right)^2}{ac+2bc+ab+4bc+ab+ac}\)
\(P\ge abc.\dfrac{49}{2ab+6bc+2ca}\)
\(P\ge abc.\dfrac{49}{7abc}\) (vì \(2ab+6bc+2ca=7abc\))
\(P\ge7\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{ac+2bc}=\dfrac{3}{ab+4bc}=\dfrac{2}{ab+ac}\\2ab+6bc+2ca=7abc\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{2}{ac+2bc}=\dfrac{2}{ab+ac}\) \(\Leftrightarrow2b=a\)
Có \(\dfrac{3}{ab+4bc}=\dfrac{2}{ab+ac}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2b^2+4bc}=\dfrac{2}{2b^2+2bc}\)
\(\Leftrightarrow3b^2+3bc=2b^2+4bc\)
\(\Leftrightarrow b^2=bc\Leftrightarrow b=c\)
\(\Rightarrow a=2b=2c\)
Lại có \(2ab+6bc+2ca=7abc\) \(\Rightarrow4b^2+6b^2+4b^2=14b^3\)
\(\Leftrightarrow b=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a,b,c\right)=\left(2,1,1\right)\)
Vậy \(min_P=7\)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện \(a\ge1,b\ge1,c\ge1\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{2a-1}+\dfrac{1}{2b-1}+\dfrac{1}{2c-1}+\dfrac{4ab}{ab+1}+\dfrac{4bc}{bc+1}+\dfrac{4ac}{ac+1}\ge9\)
\(VT\ge\dfrac{1}{\left(a^2+1\right)-1}+\dfrac{1}{\left(b^2+1\right)-1}+\dfrac{1}{\left(c^2+1\right)-1}+4-\dfrac{4}{ab+1}+4-\dfrac{4}{bc+1}+4-\dfrac{4}{ca+1}\)
\(VT\ge\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{4}{ab+1}-\dfrac{4}{bc+1}-\dfrac{4}{ca+1}+12\)
Mặt khác \(a;b;c\ge1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab+1\ge a+b\) (và tương tự...)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}-\dfrac{4}{a+b}-\dfrac{4}{b+c}-\dfrac{4}{c+a}+12\)
\(VT\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{4}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{4}{\left(c+a\right)^2}-\dfrac{4}{a+b}-\dfrac{4}{b+c}-\dfrac{4}{c+a}+1+1+1+9\)
\(VT\ge\left(\dfrac{2}{a+b}-1\right)^2+\left(\dfrac{2}{b+c}-1\right)^2+\left(\dfrac{2}{c+a}-1\right)^2+9\ge9\)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(K = \sqrt{12a+(b-c)^2} + \sqrt{12b+(a-c)^2} + \sqrt{12c+(a-b)^2}\)
https://h.vn/hoi-dap/question/702421.html
https://h.vn/hoi-dap/question/702421.html
https://h.vn/hoi-dap/question/702421.html
Ta có:
\(\sqrt{12a+\left(b-c\right)^2}=\sqrt{4a\left(a+b+c\right)+\left(b-c\right)^2}\)
\(=\sqrt{4a^2+4ab+4ac+b^2-2bc+c^2}\)
\(=\sqrt{\left(2a+b+c\right)^2-4bc}\)
\(\le\sqrt{\left(2a+b+c\right)^2}=2a+b+c\)
Khi đó \(K\le4\left(a+b+c\right)=12\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=0;b=0;c=3\) và các hoán vị.
1.Xét 2 số thực không âm a,b thỏa mãn a+b≤6. Tìm giá trị lớn nhất của A=a2b(4-a-b)
2. Cho các số a,b,c∈R+ thỏa mãn a+b+c=3.CMR : a+ab+2abc≤\(\dfrac{9}{2}\)
3. Cho các số a,b ∈R+ phân biệt. CMR: (x+y)\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)+\(\dfrac{16}{\left(x-y\right)^2}\)≥12
1.
- Với \(a+b\ge4\Rightarrow A\le0\)
- Với \(a+b< 4\Rightarrow4-a-b>0\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}.b.\left(4-a-b\right)\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+b+4-a-b\right)^4=4\)
\(A_{max}=4\) khi \(\left(a;b\right)=\left(2;1\right)\)
2.
\(P=a+\dfrac{1}{2}.a.2b\left(1+2c\right)\le a+\dfrac{a}{8}\left(2b+1+2c\right)^2\)
\(P\le a+\dfrac{a}{8}\left(7-2a\right)^2=\dfrac{1}{8}\left(4a^3-28a^2+57a-36\right)+\dfrac{9}{2}\)
\(P\le\dfrac{1}{8}\left(a-4\right)\left(2a-3\right)^2+\dfrac{9}{2}\le\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)
Câu 3 bạn xem lại đề, mình có thể chắc chắn với bạn là đề sai
Ví dụ bạn cho \(x=98,y=100\) thì vế trái chỉ lớn hơn 8 một chút
Đề đúng phải là: \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}\ge12\)
Nếu câu 3 đề là \(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}\ge12\)
Ta có:
\(VT=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}+2\)
\(VT=\dfrac{x^2+y^2-2xy+2xy}{xy}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}+2\)
\(VT=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{xy}+\dfrac{16xy}{\left(x-y\right)^2}+4\ge2\sqrt{\dfrac{16xy\left(x-y\right)^2}{xy\left(x-y\right)^2}}+4=12\)
cho các số thực a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(K=\sqrt{24a+25}+\sqrt{24b+25}+\sqrt{24c+25}\)
1≥a=>a≥a2=>24a+25= 4a+20a+25≥4a2+2.2a.5+25=(2a+5)2
=>\(\sqrt{24a+25}\)≥2a+5
cmtt=> K≥ 2(a+b+c)+15=17
dấu "=" xảy ra <=> (a,b,c)~(1,0,0)
câu1:
a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
P=\(\frac{ab+bc+ca-abc}{a+2b+c}\)
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(^{a^2+b^2+c^2=1}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =ab +bc + ca .