\(\sqrt{a}.\sqrt{a}-\sqrt{b}.\sqrt{b}-\sqrt{c}.\sqrt{c}=\)
CHo ba số a , b , c không âm đôi một khác nhau . Chứng minh rằng :
\(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}.+\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}.\frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{c}-\sqrt{a}}.\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=-1\) .
1, Cho a, b, c là 3 số dương. CMR:
a, \(\dfrac{a}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{a+b}\sqrt{b+c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+c}\sqrt{b+c}}\le\dfrac{3}{2}\)
b, \(\dfrac{a}{\sqrt{a+b}\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{a+c}\sqrt{b+c}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+c}\sqrt{b+a}}\ge\dfrac{3}{2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). Chứng minh rằng:\(\dfrac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\le4\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\dfrac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\dfrac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right)\)
Cho 3 số dương a,b , c thoả mãn \(b\ne c,\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{c}v̀aa+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\)
Chứng minh rằng; \(\frac{a+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2}{b+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn \(b\ne c,\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{c}\\ \) và \(a+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\\ \)
chứng minh \(\frac{a+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2}{b+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\\ \)
Bài 1 : Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn : \(b\ne c;\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{c}\) và \(a+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\)
CMR : \(\frac{a+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2}{b+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\)
Bạn tham khảo ở đây : http://olm.vn/hoi-dap/question/633314.html
Cho a,b,c>0;abc=4
Tính M=\(\sqrt{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab}+\sqrt{a}+2}}+\sqrt{\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{bc}+\sqrt{b}+1}}+\sqrt{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{ac}+\sqrt{c}+1}}\)
Cho a,b,c là 3 số dương thỏa b ≠ c; \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\text{≠}c\);\(a+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\)
Chứng minh rằng: \(\frac{a+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2}{b+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\).
Chứng minh rằng \(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\le4\left(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right)\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu:
\(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
\(=\frac{\left(-\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự CM được: \(4\left[\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right]\ge2\left(\frac{a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\right)\) (1)
Lại có: \(VP\left(1\right)-\left(\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\right)=...=0\) (biến đổi đồng nhất)
=> \(VT\left(1\right)\ge\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{4}{9}\)
Cho a,b,c là các số dương, Cm:
\(\frac{1}{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+3\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{c}+3\sqrt{a}}\ge\frac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
Giúp Mình Với các bạn ơi !!!!!
Chứng minh gì vậy bạn