câu a thì dễ còn b hơi khó

a) có CNF + NFD=90

MBC+EFD=90

=> MBC+EFD=90 

=>MBC=MNC

=> TG BNMC nội tiếp (đpcm)

a: Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>BD⊥AC tại D

Xét ΔABC vuông tại B có BD là đường cao

nên \(AB^2=AD\cdot AC\)

b: Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>EB⊥EC

mà EC//OA

nên EB⊥OA tại H

ΔOBE cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của BE và OH là phân giác của góc BOE

Xét ΔOBA và ΔOEA có

OB=OE

\(\hat{BOA}=\hat{EOA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOEA

=>\(\hat{OBA}=\hat{OEA}\)

=>\(\hat{OEA}=90^0\)

=>AE là tiếp tuyến của (O)

a: ΔOBC cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK⊥BC và OK là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBD và ΔOCD có

OB=OC

\(\hat{BOD}=\hat{COD}\)

OD chung

Do đó: ΔOBD=ΔOCD

=>\(\hat{OBD}=\hat{OCD}\)

=>\(\hat{OCD}=90^0\)

=>DC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C có cos CAB=\(\frac{CA}{AB}=\frac12\)

nên \(\hat{CAB}=60^0\)

Xét (O) có \(\hat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB

nên \(\hat{COB}=2\cdot\hat{CAB}=120^0\)

OM là phân giác của góc COB

=>\(\hat{MOB}=\hat{MOC}=\frac12\cdot\hat{COB}=60^0\)

Xét ΔOMB có OM=OB và \(\hat{MOB}=60^0\)

nên ΔOMB đều

=>OM=MB=OB=R

Xét ΔOMC có OM=OC và \(\hat{MOC}=60^0\)

nên ΔOMC đều

=>OM=OC=CM=R

Xét tứ giác OBMC có OB=BM=MC=OC(=R)

nên OBMC là hình thoi

c: gọi G là giao điểm của CB và AE

Ta có; GA⊥BA

CH⊥AB

Do đó: GA//CH

Xét ΔBAE có IH//AE
nên \(\frac{IH}{AE}=\frac{BI}{BE}\) (1)

Xét ΔBEG có CI//EG

nên \(\frac{CI}{EG}=\frac{BI}{BE}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IH}{AE}=\frac{CI}{GE}\)

mà IH=CI

nên AE=GE

=>E là trung điểm của AG

Ta có: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥CB tại C

=>AC⊥CG tại C

ΔCAG vuông tại C

mà CE là đường trung tuyến

nên CE=EA=EG

Xét ΔEAO và ΔECO có

EA=EC

AO=CO

EO chung

Do đó: ΔEAO=ΔECO

=>\(\hat{EAO}=\hat{ECO}\)

=>\(\hat{ECO}=90^0\)

=>OC⊥CE tại C

Ta có: OC⊥CE

OC⊥CD
mà CE,CD có điểm chung là C

nên E,C,D thẳng hàng

Ta có : \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=180^o;\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\right)+\left(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}\right)=180^o\)

\(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=180^o\)

Mà \(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}\right)+\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)=\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}\)\(=180^o\)

Do vậy tổng:  \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\right)+\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}\right)=360^o\)