Bài 9: Ôn tập chương Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

\(\left\{{}\begin{matrix}A=\left(a^4+b^4\right)\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{4ab}{2}\right]^2}{2}\\B=\left(c^4+d^4\right)\ge\left(c^2+d^2\right)^2\ge\dfrac{\left[\dfrac{\left(c+d\right)^2}{2}\right]^2}{2}\ge\dfrac{\left[\dfrac{4cd}{2}\right]^2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}A\ge\dfrac{\left(2ab\right)^2}{2}\\B\ge\dfrac{\left(2cd\right)^2}{2}\end{matrix}\right.\)(1)

\(\left\{{}\begin{matrix}A\ge0\\B\ge0\end{matrix}\right.\)(2)

(1) và (2) \(\Rightarrow A+B\ge\dfrac{\left(2ab\right)^2+\left(2cd\right)^2}{2}\ge\dfrac{2\left(4abcd\right)}{2}=4abcd\)

đẳng thức khi a=b=c=d

Ta có BĐT \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow a=b\)

Vậy ta có: \(a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\)

\(c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\)

Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2=2\left[\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right]\)

Lại có: \(\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\ge2\sqrt{\left(ab\right)^2\left(cd\right)^2}=2abcd\)

\(\Rightarrow2\left[\left(ab\right)^2+\left(cd\right)^2\right]\ge2\cdot2abcd=4abcd\)

\(\Rightarrow VT=a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd=VP\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^4=b^4\\c^4=d^4\\\left(ab\right)^2=\left(cd\right)^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\c=d\\ab=cd\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c=d\)

giá mà chi a,b,c,d dương

a) Ta có : trung bình cộng 2 đáy là 36m => (đáy lớn + đáy nhỏ) : 2 = 36m

Gọi đáy lớn là a, đáy nhỏ là b, chiều cao là h. Ta có :

$S_{hinh-thang}=(a+b)h:2=(a+b):2.h$

Ta có cạnh hình vuông là : 96 : 4 = 24m

=> Diện tích hình vuông là : 24.24=576$m^2$

$=>S_{hinh-thang}=(a+b):2.h=576$

$=>36.h=576$

$=>h=16m$

Vậy chiều cao thửa ruộng hình thang là 16m.

b) Trung bình cộng 2 đáy = 36m

=> Tổng 2 đáy = 36m . 2 = 72m

=> Đáy lớn = (72 + 10) : 2 = 41m

Đáy bé = 72 - 41 = 31m

a) Ta có cạnh hình vuông là: 96\(\div\)4=24(m)

Diện tích thửa ruộng = diện tích mảnh đất hình vuông = 24.24=576(m²)

Chiều cao hình thang là: 576: 36= 16(m)

b) Gọi a là đáy lớn, b là đáy bé.

Ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=36\\a-b=10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=23\\b=13\end{matrix}\right.\)

Vậy đáy lớn = 23 m đáy bé= 13m

\(sinx+cosx\cdot sin2x+\sqrt{3}cos3x=2.\left(cos4x+sin^3x\right)\)

\(\Leftrightarrow sinx+cosx\cdot sin2x+\sqrt{3}cos3x=2cos4x+2sin^3x\)

\(\Leftrightarrow sinx-2sin^3x+cosx.sin2x+\sqrt{3}cos3x=2cos4x\)

\(\Leftrightarrow sinx.\left(1-2sin^2x\right)+cosx.sin2x+\sqrt{3}cos3x=2cos4x\)

\(\Leftrightarrow sinx.cos2x+cosx.sin2x+\sqrt{3}cos3x=2cos4x\)

\(\Leftrightarrow sin.\left(x+2x\right)+\sqrt{3}cos3x=2cos4x\)

\(\Leftrightarrow sin3x+\sqrt{3}cos3x=2cos4x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}sin3x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos3x=cos4x\)

\(\Leftrightarrow cos\dfrac{\pi}{3}.sin3x+sin\dfrac{\pi}{3}.cos3x=cos4x\)

\(\Leftrightarrow sin.\left(3x+\dfrac{\pi}{3}\right)=sin\left(\dfrac{\pi}{x}-4x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}-4x+k2\pi\\3x+\dfrac{\pi}{2}=\pi-\dfrac{\pi}{2}+4x+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{42}+\dfrac{k2\pi}{7}\\x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\left(k\in Z\right)\)

ảnh của A(4,2)

ảnh d:3x+2y+8

ảnh (C): (x+2)^2+(y+6)^2=18