a^3+b^3+ab=(a+b)(a^2+b^2-ab)+ab=a^2+b^2

mà 2(a^2+b^2)>=(a+b)²(vì a^2+b^2>=2ab)

\(\Rightarrow\)a^2+b^2>=1/2

\(S=\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{\dfrac{9}{4}}{3a^2b}+\dfrac{\dfrac{9}{4}}{3ab^2}+\dfrac{1}{4ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel có:

\(S\ge\dfrac{\left(1+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\right)^2}{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}+\dfrac{1}{4ab}.\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow S\ge\dfrac{16}{\left(a+b\right)^3}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}.\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow S\ge\dfrac{16}{1}+\dfrac{1}{1}.\dfrac{4}{1}=20\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Vậy GTNN của \(S=20\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

bài 5 nhé:

a) (a+1)²>=4a

<=>a²+2a+1>=4a

<=>a²-2a+1.>=0

<=>(a-1)²>=0 (luôn đúng)

vậy......

b) áp dụng bất dẳng thức cô si cho 2 số dương 1 và a ta có:

a+1>=\(2\sqrt{a}\)

tương tự ta có:

b+1>=\(2\sqrt{b}\)

c+1>=\(2\sqrt{c}\)

nhân vế với vế ta có:

(a+1)(b+1)(c+1)>=\(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)

<=>(a+1)(b+1)(c+1)>=\(8\sqrt{abc}\)

<=>(a+)(b+1)(c+1)>=8 (vì abc=1)

vậy....

bạn nên viết ra từng câu

Chứ để như thế này khó nhìn lắm

bạn hỏi từ từ thôi

Ta có

a³ + b³ + ab = (a + b)(a² - ab + b²) + ab

= a² + b²

Ta lại có 

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN là \(\frac{1}{2}\)đạt được khi a = b = \(\frac{1}{2}\)

\(P\le a^2+b^2+c^2+3\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)

\(P_{max}=12\) khi \(a=b=c=1\)

Lại có: \(\left(a+b+c\right)^2=3+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)

\(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)

\(\Rightarrow\sqrt{3}\le a+b+c\le3\)

\(P=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}+3\left(a+b+c\right)\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\)

Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow\sqrt{3}\le x\le3\)

\(P=\dfrac{1}{2}x^2+3x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+6+\sqrt{3}\right)+3\sqrt{3}\ge3\sqrt{3}\)

\(P_{min}=3\sqrt{3}\) khi \(x=\sqrt{3}\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và hoán vị

thế bạn bt hok

\(B=a^3+b^3+ab=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

Với \(a+b=1\)ta có: \(B=a^2-ab+b^2+ab=a^2+b^2\)\

Từ \(a+b=1\)\(\Rightarrow b=1-a\)

\(\Rightarrow B=a^2+\left(1-a\right)^2=a^2+1-2a+a^2=2a^2-2a+1\)

\(=2\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=2\left(a^2-2.\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\)

\(=2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)

Vì \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\)\(\Rightarrow2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\forall a\)

hay \(B\ge\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a-\frac{1}{2}=0\)\(\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow b=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Vậy \(minB=\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Đề sai rồi bạn

Bài 2: 

Gọi hai số cần tìm là a;a+1

Theo đề, ta có: 

\(\left(a+1\right)^2-a^2=2013\)

=>2a+1=2013

=>2a=2012

hay a=1006

Vậy: hai số cần tìm là 1006 và 1007