-Xét △BEC và △AEM có:

\(BE=AE\) (E là trung điểm AB).

\(EC=EM\) (gt)

\(\widehat{BEC}=\widehat{ĂEM}\) (đối đỉnh).

=>△BEC = △AEM (c-g-c)

=>\(AM=BC\) (2 cạnh tương ứng).

\(\widehat{BCE}=\widehat{AME}\)(2 góc tương ứng).

=>BC//AM (1).

-Xét △CDB và △ADN có:

\(CD=AD\) (D là trung điểm AC).

\(BD=DM\) (gt)

\(\widehat{BDC}=\widehat{NDA}\) (đối đỉnh).

=>△CDB=△ADN (c-g-c)

=>\(AN=BC\) (2 cạnh tương ứng).

\(\widehat{BCD}=\widehat{NAD}\)(2 góc tương ứng).

=>BC//AN (2).

-Từ (1) và (2) suy ra: AN//AM

=>AN trùng với AM hay M,A,N thẳng hàng.

Mà BC=AM=AN.

=>A là trung điểm MN.

Xét tứ giác ABCM có 

D là trung điểm của đường chéo AC

D là trung điểm của đường chéo BM

Do đó: ABCM là hình bình hành

Suy ra: AM//BC và AM=BC(1)

Xét tứ giác ANBC có 

E là trung điểm của đường chéo AB

E là trung điểm của đường chéo CN

Do đó: ANBC là hình bình hành

Suy ra: AN//BC và AN=BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM=AN(3)

Ta có: AM//BC

AN//BC

mà AM và AN có điểm chung là A

nên N,A,M thẳng hàng(4)

Từ (3) và (4) suy ra A là trung điểm của NM

1, tứ giác NACB là hình bình hành vì có 2 đường chéo cắt nkau tại trung điểm mỗi đường 

---> NA song song với BC (1)

 tứ giác ABCM là hình bình hành vì 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đương 

----> AM song song với BC (2)

từ 1 và 2 ---> N,A,M thẳng hàng

2, từ hình bình hành ---> NA=BC và AM=BC

                               ----> NM = 2BC

Xét tam giác MEA và tam giác BEC có:

EM=FC(gt)

Góc MAE= góc EBC(vì 2 góc đoi đinh)

AE=BE(vì E là trung điem của AB)

Do đo tam giác MAE= tam giác EBC(c.g.g)(1)

=> MA =BC(2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ADN và tam giác BDC có:

DN=DB(gt)

góc ADN =góc BDC(2 góc đoi đinh)

AD=CD(vì D là trung điem của AC)

Do đo tam giác ADN= tam giác BDC(c.g.c)(2)

Từ 1 và 2 =>MA=NA

Vì tam giác MEA= tam giác BEC

=> góc B = góc A (2 góc so le trong)

=>AM // BC (3)

 Vì tam giác ADN =tam giác BDC 

=>góc C =góc A (2 góc so le trong)

=>AN // BC (4)

Từ 3 và 4 theo tiên đề ơ clit

=>A,M,N thẳng hàng

Ma MA=NA

Vay A là trung điem của MN

Xét tứ giác ACBM có

E là trung điểm của đường chéo AB

E là trung điểm của đường chéo MC

Do đó: ACBM là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Suy ra: AM//BC và AM=BC(1)

Xét tứ giác ANCB có 

D là trung điểm của đường chéo AC(gt)

D là trung điểm của đường chéo BN(Gt)

Do đó: ANCB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Suy ra: AN//CB và AN=CB(2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của MN(đpcm)

Giải thích các bước giải:

D là trung điểm của AC ⇒ AD = CD

a, Xét ΔADB và ΔCDM có:

AD = CD; DB = DM (gt); ˆADBADB^ = ˆCDMCDM^ (đối đỉnh)

⇒ ΔADB = ΔCDM (c.g.c) ⇒ AB = CM và ˆBACBAC^ = ˆMCAMCA^ (đpcm)

b, Xét ΔABC và ΔCMA có: 

ˆA1A1^ = ˆC1C1^ (câu a); AB = CM; AC chung

⇒ ΔABC = ΔCMA (c.g.c) ⇒ ˆA2A2^ = $\widehat{C2} ⇒ AM ║ BC (đpcm)

c, I là trung điểm của AB, D là trung điểm của AC 

⇒ ID là đường trung bình của ΔABC ⇒ ID ║ BC

K là trung điểm của CM, D là trung điểm của AC

⇒ KD là đường trung bình của ΔACM ⇒ KD ║ AM

mà AM ║ BC ⇒ ID ║ KD ⇒ K, D, I thẳng hàng (đpcm)

Tham khao!

https://lazi.vn/edu/exercise/545094/cho-tam-giac-abc-d-la-trung-diem-cua-ac-e-la-trung-diem-cua-ab-tren-tia-doi-cua-cua-tia-db-lay-diem-m-sao-cho-dmdb-tren-tia-doi-cu

"Chứng minh rằng A là trung điểm của MN" nha, mik nhầm