Question

Cho tam giác ABC,D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB.Trên tia đối của tia DB lấy điểm N sao cho DN = DB. Trên tia đối của tia EC, lấy điểm M sao cho EM = EC.Chứng minh rằng A là trung điểm của MN.

Answer 1

Xét tam giác MEA và tam giác BEC có:

EM=FC(gt)

Góc MAE= góc EBC(vì 2 góc đoi đinh)

AE=BE(vì E là trung điem của AB)

Do đo tam giác MAE= tam giác EBC(c.g.g)(1)

=> MA =BC(2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ADN và tam giác BDC có:

DN=DB(gt)

góc ADN =góc BDC(2 góc đoi đinh)

AD=CD(vì D là trung điem của AC)

Do đo tam giác ADN= tam giác BDC(c.g.c)(2)

Từ 1 và 2 =>MA=NA

Vì tam giác MEA= tam giác BEC

=> góc B = góc A (2 góc so le trong)

=>AM // BC (3)

 Vì tam giác ADN =tam giác BDC 

=>góc C =góc A (2 góc so le trong)

=>AN // BC (4)

Từ 3 và 4 theo tiên đề ơ clit

=>A,M,N thẳng hàng

Ma MA=NA

Vay A là trung điem của MN

Answer 2

Xét tứ giác ACBM có

E là trung điểm của đường chéo AB

E là trung điểm của đường chéo MC

Do đó: ACBM là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Suy ra: AM//BC và AM=BC(1)

Xét tứ giác ANCB có 

D là trung điểm của đường chéo AC(gt)

D là trung điểm của đường chéo BN(Gt)

Do đó: ANCB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Suy ra: AN//CB và AN=CB(2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của MN(đpcm)