Cho các số dương a,b,c,d,e. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\ge\frac{5}{2}\)
Cho các số dương a,b,c,d,e. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\ge\frac{5}{2}\)
Cho các số dương a, b,c, d, e. CMR:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\ge\frac{5}{2}\)
Chứng minh bất đẳng thức sau:
a)\(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\ge\frac{4}{A+B}\) (A,B dương)
b)\(\frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{A+B}\) (A,B dương)
c)\(a^4+b^2\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
d)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)(a,b,c dương)
e)\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (a,b,c dương)
Giải nhanh cho mk nha.Người nhanh nhất tui cho 1 like
a, Ta cần phải chứng minh (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))=1+\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge4\) vì
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(cái này bạn tìm hiểu kĩ hơn nha,nhưng mk nghĩ thế này đc rồi đó)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b.
d,(a+b+c)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))=1+\(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
=3+(\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\))+(\(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\))\(\ge\)3+2+2+2=9
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b=c
e,Xét hiệu :
\(^{a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\left(a+b+c\right)}\) => cái này bạn nhân ra trước rồi phân tích đa thức thành nhân tử nha.
=\(\left(a+b+c\right)\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\ge0\) \(\Rightarrow\)ĐPCM
Cho các số nguyên dương a<b<c<d<e<f. Chứng minh
\(\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}< \frac{1}{2}\)
Ta có: a < b => 2a < a + b (1)
c < d => 2c < c + d (2)
e < f => 2e < e + f (3)
Cộng ba vế (1),(2),(3) lại ta được:
2a + 2c + 2e < a + b + c + d + e + f
=> 2(a + c + e) < a + b + c + d + e + f
=> \(\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}< \frac{1}{2}\) (đpcm)
Cho 5 số dương a b c d e
CMR
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}>\frac{25}{a+b+c+d+e}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\ge\frac{\left(1+1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d+e}=\frac{25}{a+b+c+d+e}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d = e
Cho a, b, c, d, e là các số đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{e}+\frac{e}{a}\right)\notin Z\)
Cho các số nguyên dương a<bc<d<e<f. Chứng minh \(\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}< \frac{1}{2}\)
\(\hept{\begin{cases}a< b\\c< d\\e< f\end{cases}}\Rightarrow a+c+e< b+d+f\)
\(\Rightarrow2\left(a+c+e\right)< a+b+c+d+e+f\)
=> dpcm
Ta có : \(a< b< c< d< e< f\)nên :
\(a+b+c+d+e+f>a+a+c+c+e+e=2\left(a+c+e\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}< \frac{a+c+e}{2\left(a+c+e\right)}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right).\)
Đề là a> bc... Mà đâu phải a>b>.... đâu
Cho các số nguyên dương \(a,b,c,d,e,f\) biết :
\(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}>\frac{e}{f}\) và \(af-be=1\)
Chứng minh : \(d\ge b+f\)
Lời giải:
Với $a,b,c,d,e,f\in\mathbb{Z}^+$ ta có:
$\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\Rightarrow ad>bc\Leftrightarrow ad-bc>0$
Mà $ad,bc$ đều nguyên nên từ đây suy ra $ad-bc\geq 1(*)$
Tương tự:
$\frac{c}{d}>\frac{e}{f}\Rightarrow cf-ed\geq 1(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra:
$d=d(af-be)=daf-dbe=(daf-bcf)+(bcf-dbe)$
$=f(ad-bc)+b(cf-ed)\geq f.1+b.1$
Hay $d\geq b+f$ (đpcm)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Giup vs e đang cần gấp