Question

Cho các số nguyên dương \(a,b,c,d,e,f\) biết :

\(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}>\frac{e}{f}\) và \(af-be=1\)

Chứng minh : \(d\ge b+f\)

Answer 1

Lời giải:

Với $a,b,c,d,e,f\in\mathbb{Z}^+$ ta có:

$\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\Rightarrow ad>bc\Leftrightarrow ad-bc>0$

Mà $ad,bc$ đều nguyên nên từ đây suy ra $ad-bc\geq 1(*)$

Tương tự:

$\frac{c}{d}>\frac{e}{f}\Rightarrow cf-ed\geq 1(**)$

Từ $(*); (**)$ suy ra:

$d=d(af-be)=daf-dbe=(daf-bcf)+(bcf-dbe)$

$=f(ad-bc)+b(cf-ed)\geq f.1+b.1$

Hay $d\geq b+f$ (đpcm)