Cho \(a+b+c=2m.\) Chứng minh rằng: \(2bc+b^2+c^2-a^2\)
Cho \(a+b+c=2p\). Chứng minh rằng:
\(2bc+b^2+c^2-a^2=4p\left(p-a\right)\)
\(2bc+b^2+c^2-a^2\)
\(=\left(b+c\right)^2-a^2\)
\(=\left(b+c+a\right)\cdot\left(b+c-a\right)\)
\(=2p\cdot\left(2p-a-a\right)\)
\(=4p\left(p-a\right)\)
Cho \(a+b+c=2m\). Chúng minh rằng: \(2bc+b^2+c^2-a^2=4m\left(m-a\right)\)
Cho a,b,c > 0 và a + b + c ≤ 1 chứng minh rằng: 1/(a^2 + 2bc)+ 1/(b^2 + 2ac) + 1/(c^2 + 2ab) >=9?
Cho a + b + c = 2x
Chứng minh rằng 2bc + b^2 + c^2 - a^2 = 4x ( x - a )
2bc + b2 + c2 - a2
= (b2 + 2bc + c2) - a2
= (b + c)2 - a2 (1)
mà a + b + c = 2x
=> b + c = 2x - a
Thay vào (1), ta được:
(2x - a)2 - a2 = (2x - a - a) (2x - a + a)
= 4x (x - a) (đpcm)
cho a+b+c=2p
chứng minh rằng 2bc+ b2+c2- a2 = 4p(p- a)
TC:a+b+cd=2p=>b+c=2p-a
=>(b+c)2=(2p-a)2
=>b2+2bc+c2=4p2-4pa+a2
=>b2+2bc+c2-a2=4p2-4pa
=>2bc+b2+c2-a2=4p(p-a) ĐPCM
Cho a+b+c = 2p . Chứng minh rằng đẳng thức : \(2bc+b^2+c^2-a^2=4p\left(p-a\right)\)
\(2bc+b^2+c^2-a^2\)
\(=\left(b+c\right)^2-a^2\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\)
\(=2p\left(a+b+c-2a\right)\)
\(=2p\left(2p-2a\right)=4p\left(p-a\right)\)
biến đổi vế phải ta được:
4p(p -a ) = 4p\(^2\)-4pa
=(2p)\(^2\)-2p.2a
=(a+b+c)\(^2\)-2a(a+b+c)
=\(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)-\(2a^2-2ab-2ac\)
=\(2bc+b^2+c^2-a^2\)=vế trái (đpcm)
1. Cho a+ b + c = 0 . Chứng minh rằng M = N =P
với M =a ( a+b)(a+c)
N= b(b+c)(a+b)
P = c(c+a)c+b)
2. cho a+b+c = 2p .Chứng minh rằng 2bc+b2 + c2 - a2 = 4p(p-a)
1, a +b +c = 0 => a + b = -c ; a +c = -b ; b+c = -a
thay vào M ta có
M = a . -c . -b = abc (1)
Thay tương tự vào N , P ta cũng đc N =abc (2)
P =abc( 3)
Từ 1 2 và 3 => ĐPCM
2,
a + b +c = 2P
=> b + c = 2P -a
=> ( b + c)^2 = ( 2P -a)^2
=> b^2 + 2bc+ c^2 = 4p^2 - 4pa + a^2
=> 2bc+ b^2 + c^2 -a^ 2 = 4p^2 - 4pa
=> 2bc + b^2 + c^2 -a ^ 2 = 4p(p-a)=> ĐPCM
1.
Ta có a+b+c=0
=> a+c=b ; a+b=c ; c+b=a
M= a(a+b)(a+c)=a.c.b
N= b(b+c)(a+b)=b.a.c
P= c(c+a)(c+b)=c.b.a
=> M=N=P=abc
Cho a+b+c=2p
Chứng minh rằng : 2bc + b2 +c2 -a2 =4p (p-a )
\(2bc+b^2+c^2-a^2\)
\(=\left(b+c\right)^2-a^2\)
\(=\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\)
\(=\left(b+c+a-2a\right).2p\)
\(=\left(2p-2a\right).2p\)
\(=4p\left(p-a\right)\)\(\left(ĐPCM\right)\)
\(2bc+b^2+c^2-a^2=4p\left(p-a\right)\)
Biến đổi vế phải ta có :
\(4p\left(p-a\right)\)
\(=2p\left(2p-2a\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(b-c-a\right)\)
\(=2bc+b^2+c^2-a^2=VT\)(đpcm)
cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng :
\(\dfrac{a^2+2bc}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2+2ac}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2+2ab}{a^2+b^2}>3\)
mọi người giúp mình với
Do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác nên: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c>0\\a+c-b>0\\b+c-a>0\end{matrix}\right.\)
BĐT đã cho tương đương:
\(\dfrac{a^2+2bc}{b^2+c^2}-1+\dfrac{b^2+2ac}{a^2+c^2}-1+\dfrac{c^2+2ab}{a^2+b^2}-1>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2-\left(a^2-2ac+c^2\right)}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)}{a^2+b^2}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-\left(b-c\right)^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2-\left(a-c\right)^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2-\left(a-b\right)^2}{a^2+b^2}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}{b^2+c^2}+\dfrac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}{a^2+c^2}+\dfrac{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}{a^2+b^2}>0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng