a) \(4\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2\) là bình phương 1 số hữu tỉ => 4(xy+yz+zx) cũng là bp số hữu tỉ mà 4=2² => xy+yz+zx là bp 1 số hữu tỉ 

b) \(x^2+y^2+z^2=2\left(xy+yz+zx\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2+z^2=4xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2-2z\left(x+y\right)+z^2=4xy\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y-z\right)^2=4xy\)

Do (x+y-z)² là bình phương 1 số hữu tỉ => 4xy là bp số hữu tỉ => xy là bp số hữu tỉ 

Thật sự ra mục đích bài này đi chứng minh biểu thức trong ngoặc là scp

Đây là dề thi HSG toán cấp tỉnh Đồng Tháp

Có: \(\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}\)

\(=\sqrt{\left(x^2+xy+yz+xz\right)\left(y^2+xy+yz+xz\right)\left(z^2+xy+yz+xz\right)}\)

Sau đó thực hiên phân tích đa thức thành nhân tử mỗi ngoặc

\(=\sqrt{\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2}\)

\(=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)là số hữu tỉ

Vậy

Câu số 1b đề thi hsg

Chào anh từ  huyện Cao Lãnh 

Câu hỏi của Nguyễn Phong - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(x^2+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(1+xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=\frac{xy+1}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow xy+1=\left(x+y\right)^2\)

Vì x,y là các số hữu tỉ nên xy + 1 là bình phương của 1 số hữu tỉ (đpcm)

a: \(\left|a-2b+3\right|^{2023}>=0\forall a,b\)

\(\left(b-1\right)^{2024}>=0\forall b\)

Do đó: \(\left|a-2b+3\right|^{2023}+\left(b-1\right)^{2024}>=0\forall a,b\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-2b+3=0\\b-1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=2b-3=2\cdot1-3=-1\end{matrix}\right.\)

Thay a=-1 và b=1 vào P, ta được:

\(P=\left(-1\right)^{2023}\cdot1^{2024}+2024=2024-1=2023\)

Mình nghĩ đề cho : \(xy+yz+zx=1\) .

Ta có : \(P=\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)\)

\(=\left(x^2+xy+yz+zx\right)\left(y^2+xy+yz+zx\right)\left(z^2+xy+yz+zx\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\)

\(=\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\)

Vậy P là bình phương của một số hửu tỉ .