Bài 1: 

a: Xét tứ giác ABCD có góc B+góc D=180 độ

nên ABCD là tứ giác nội tiếp

=>góc BAC=góc BDC và góc DAC=góc DBC

mà góc CBD=góc CDB

nên góc BAC=góc DAC

hay AC là phân giác của góc BAD
b: Ta có: góc BCA=góc BAC

=>góc BCA=góc CAD

=>BC//AD

=>ABCD là hình thang

mà góc B=góc BCD

nên ABCD là hình thang cân

dễ mà tính chất đường trung bình của tam giác suy ra diều phải chứng minh

rồi xét các tam giác còn lại 

Nối A với D

Gọi K là trung điểm BD

Xét tam giác ABD có:

Mlà trung điểm AD

K là trung điểm BD

=> MK là đường trung bình

\(\Rightarrow MK=\dfrac{1}{2}AB\left(1\right)\)

Xét tam giác BDC có:

K là trung điểm BD

N là trung điểm BC

=> NK là đường trung bình

\(\Rightarrow NK=\dfrac{1}{2}DC\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow MK+NK=\dfrac{1}{2}\left(BC+DC\right)\)

Mà \(MK+NK\ge MN\)(bất đẳng thức trong tam giác KMN)

\(\Rightarrow MN\le\dfrac{AB+DC}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow MK+NK=MN\)

\(\Leftrightarrow\) K là trung điểm MN

Sử dụng đường trung bình, ta có: KN = 1/2 AB, NI = 1/2 CD , IM = 1/2 AB , MK = 1/2 CD

Mà AB = CD (gt)

\(\Rightarrow KN=NI=IM=MK\)

\(\Rightarrow KNIM\)là hình thoi

Do đó: MN là tia phân giác của \(\widehat{IMK}\)(tính chất hình thoi)

Chúc bạn học tốt.

Ta có : Tứ giác MPNQ là hình bình hành

$\Rightarrow$ MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

Ta có : Tứ giác EPFQ là hình bình hành

$\Rightarrow$ EF đi qua I

Vậy EF , MN và PQ đồng quy