\(x+z+y=1\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge3\left(xy+yz+zx\right)=1\Rightarrow M_{max}=\frac{1}{3}.\text{Dâu "=" xay ra }\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

Đơn giản hơn:

Áp dụng bđt quen thuộc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

Ta có: \(M\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z =1/3

Áp dụng bất đẳng thức cho ba số  \(x,y,z\in Z^+\), ta được
\(x^2+y^2\ge2xy\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{x+y}{x^2+y^2}\le\frac{x+y}{2xy}\)  \(\left(1\right)\)

\(y^2+z^2\ge2yz\)   \(\Rightarrow\)  \(\frac{y+z}{y^2+z^2}\le\frac{y+z}{2yz}\)  \(\left(2\right)\)

\(z^2+x^2\ge2xz\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{z+x}{2xz}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế của  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\)  ta được  \(\frac{x+y}{x^2+y^2}+\frac{y+z}{y^2+z^2}+\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{x+y}{2xy}+\frac{y+z}{2yz}+\frac{z+x}{2xz}=\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(P\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2015\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  khi và chỉ khi  \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)

Vậy,  \(P_{max}=2015\)  \(\Leftrightarrow\)   \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)

a. DC=BE

b= BC vuông BE

\(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\)

\(M=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\)

\(M=\frac{1^2}{16x}+\frac{2^2}{16y}+\frac{4^2}{16z}\)

\(M\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16\left(x+y+z\right)}\)

    \(=\frac{49}{16}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}=\frac{1+2+4}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{7}{16}\) 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{cases}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{27}\ge xyz\)

Ta có  \(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\)( 1 ) 

Xét  \(3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\)

Ta có  \(\frac{1}{27}\ge xyz\)

\(\Rightarrow\frac{64}{27}\ge64xyz\)

\(\Rightarrow\frac{27}{64}\le\frac{1}{64xyz}\)

\(\Rightarrow\frac{9}{4}\le3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\)( 2 ) 

Từ ( 1 ) và ( 2 ) 

\(\Rightarrow M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{64xyz}}\ge\frac{9}{4}\)

Vậy  \(M_{min}=\frac{9}{4}\)

\(M=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}=\frac{1^2}{16x}+\frac{2^2}{16y}+\frac{4^2}{16z}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schawrz dạng Engel ta được:

\(M=\frac{1^2}{16x}+\frac{2^2}{16y}+\frac{4^2}{16z}\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16x+16y+16z}=\frac{7^2}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{49}{16.1}=\frac{49}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}\). Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}=\frac{1+2+4}{16x+16y+16z}=\frac{7}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{7}{16.1}=\frac{7}{16}\)

=>\(x=\frac{1}{7};y=\frac{2}{7};z=\frac{4}{7}\)

Vậy M_min=49/16 khi \(x=\frac{1}{7};y=\frac{2}{7};z=\frac{4}{7}\)