Lời giải:

Áp dụng BĐT $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$A=|x-2001|+|x-1|=|2001-x|+|x-1|\geq |2001-x+x-1|=2000$

Vậy $A_{\min}=2000$. Giá trị này đạt được khi $(2001-x)(x-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2001\geq x\geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:
\(A=\left|x-2001\right|+\left|x+1\right|=\left|2001-x\right|+\left|x+1\right|=\left|2001-x+x+1\right|=2002\)

Dấu " = " khi \(\left\{{}\begin{matrix}2001-x\ge0\\x+1\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow-1\le x\le2001\)

Vậy \(MIN_A=2002\) khi \(-1\le x\le2002\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-2001\right|=\left|2001-x\right|\ge2001-x\\\left|x+1\right|\ge x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left|x-2001\right|+\left|x+1\right|\ge\left(2001-x\right)+\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow A\ge2001-x+x+1\)

\(\Rightarrow A\ge2002\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\left|2001-x\right|=2001-x\\\left|x+1\right|=x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2001-x\ge0\\x+1\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le2001\\x\ge-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-1\le x\le2001\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2002 \(\Leftrightarrow-1\le x\le2001\)

Vì |1 - x| = |x - 1| nên A = |x - 2001| + |x - 1|

= |x - 2001| + |1 - x| ≥| x – 2001 + 1 - x| =2000

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2000 khi x – 2001 và 1 – x cùng dấu

Vậy 1 ≤ x ≤ 2001

a)-19

b)22

lập bảng xét dấu đi

\(A=\left(x-1\right)^2+8\ge8\\ A_{min}=8\Leftrightarrow x=1\\ B=\left(x+3\right)^2-12\ge-12\\ B_{min}=-12\Leftrightarrow x=-3\\ C=x^2-4x+3+9=\left(x-2\right)^2+8\ge8\\ C_{min}=8\Leftrightarrow x=2\\ E=-\left(x+2\right)^2+11\le11\\ E_{max}=11\Leftrightarrow x=-2\\ F=9-4x^2\le9\\ F_{max}=9\Leftrightarrow x=0\)

Vì |1 - x| = |x - 1| nên A = |x - 2001| + |x - 1|

= |x - 2001| + |1 - x| ≥| x – 2001 + 1 - x| = 2000 (Áp dụng bài 141)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2000 khi x – 2001 và 1 – x cùng dấu

Vậy 1 ≤ x ≤ 2001