Cho m, n, p, q là các số thực thỏa mãn n+q\(\ne0\) và\(\frac{mp}{n+q}\ge2\)
Chứng minh rằng phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm: \(\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+px+q\right)=0\)
cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn: \(b+d\ne0\)và \(\frac{ac}{b+d}\ge2\). chứng minh rằng phương trình \(\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right)=0\) (x là ẩn) luôn có nghiệm
Cho a,b và c là các số thực thỏa mãn \(b+d\ne0\)và \(\frac{ac}{b+d}\ge2\).
CMR: Phương trình \(\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right)=0\)(x là ẩn) luôn có nghiệm.
Chứng minh rằng: nếu pt \(x^2+px+q=0\) có một nghiệm gấp \(k\) lần một nghiệm của pt \(x^2+mx+n=0\) thì các hệ số \(m,n,p,q\) thỏa mãn hệ thức sau:
\(\left(q-k^2n\right)^2+k\left(p-mk\right)\left(knp-qm\right)=0\)
Gọi \(a,b,c,d\) là các số thực thỏa mãn: \(b+d\ne0\) và \(\frac{ac}{b+d}\ge2\)
Chứng minh phương trình \(\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right)=0\) (x là ẩn) luôn có nghiệm
Xét hai pt: \(x^2+ax+b=0\) có \(\Delta_1=a^2-4b\)
\(x^2+cx+d=0\) có \(\Delta_2=c^2-4d\)
Ta có:
\(\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)\)
TH1: nếu \(b+d< 0\Rightarrow-4\left(b+d\right)>0\)
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+c^2-4\left(b+d\right)>0\)
\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1;\Delta_2\) dương hay ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm \(\Rightarrow\) pt đã cho có nghiệm
TH1: \(b+d>0\Rightarrow ac\ge2\left(b+d\right)\Rightarrow-4\left(b+d\right)\ge-2ac\)
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2\ge a^2+c^2-2ac=\left(a-c\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) tồn tại ít nhất 1 trong 2 giá trị \(\Delta_1;\Delta_2\) không âm hay ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm
Vậy pt đã cho luôn có nghiệm
Cho 2 số thực m, n khác 0 thỏa mãn: \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\). Chứng minh rằng phương trình: \(\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+nx+m\right)=0\) luôn có nghiệm.
Bạn tham khảo:
cho 2 số thực m,n≠0 thỏa \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\) chứng minh\(\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+nx+m\right)=0\)luôn có nghiệm
Chứng minh rằng nếu phương trình \(x^2+2mx+n=0\) có nghiệm thì phương trình \(x^2+2\left(k+\frac{1}{k}\right)mx+n\left(k+\frac{1}{k}\right)^2=0\)cũng có nghiệm.
Do \(x^2+2mx+n=0\) có nghiệm \(\Rightarrow m^2-n\ge0\)
Xét pt: \(x^2+2\left(k+\dfrac{1}{k}\right)mx+n\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2=0\)
\(\Delta'=\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2m^2-n\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2=\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2\left(m^2-n\right)\ge0\) với mọi k
\(\Rightarrow\)Pt đã cho có nghiệm
anh phương ơi dù em ko bt kiến thức lớp 9 nhưng anh k em 1 phát em có 1 sp thôi
Giải chi tiết hộ mk
a)Cho hai phương trình \(x^2+2mx+mn-1=0\) và \(x^2-2nx+m+n=0\) (m,n là tham số)
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m và n ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm
b)Gọi a và b là 2 nghiệm của phương trình \(x^2+px+1=0\)
c và d là 2 nghiệm của phương trình \(x^2+qx+1=0\)
chứng minh hệ thức \(\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)=\left(p-q\right)^2\)
b/ \(\hept{\begin{cases}x^2+px+1=0\\x^2+qx+1=0\end{cases}}\)
Theo vi et ta có
\(\hept{\begin{cases}a+b=-p\\ab=1\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}c+d=-q\\cd=1\end{cases}}\)
Ta có: \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-d\right)\left(b-d\right)\)
\(=\left(c^2-c\left(a+b\right)+ab\right)\left(d^2-d\left(a+b\right)+ab\right)\)
\(=\left(c^2+cp+1\right)\left(d^2+dp+1\right)\)
\(=cdp^2+pcd\left(c+d\right)+p\left(c+d\right)+c^2d^2+\left(c+d\right)^2-2cd+1\)
\(=p^2-pq-pq+1+q^2-2+1\)
\(=p^2-2pq+q^2=\left(p-q\right)^2\)
a/ \(\hept{\begin{cases}x^2+2mx+mn-1=0\left(1\right)\\x^2-2nx+m+n=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta có: \(\Delta'_1+\Delta'_2=\left(m^2-mn+1\right)+\left(n^2-m-n\right)\)
\(=m^2+n^2-mn-m-n+1\)
\(=\left(\frac{m^2}{2}-mn+\frac{n^2}{2}\right)+\left(\frac{m^2}{2}-m+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{n^2}{2}-n+\frac{1}{2}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\left(m-n\right)^2+\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\right)\ge0\)
Vậy có 1 trong 2 phương trình có nghiệm
Cho phương trinh : \(mx^2+\left(mn+1\right)x+n=0\)
a) Giải phương trình khi \(m=1,n=\sqrt{2}\)
b) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m và n.
a. Với \(m=1;n=\sqrt{2}\)thay vào phương trình ta có
\(x^2+\left(\sqrt{2}+1\right)x+\sqrt{2}=0\Leftrightarrow x\left(x+\sqrt{2}\right)+\left(x+\sqrt{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=-\sqrt{2}\end{cases}}\)
Vậy với \(m=1;n=\sqrt{2}\)thì phương trình có 2 nghiệm \(x=-1;x=-\sqrt{2}\)
b. Ta có \(\Delta=\left(mn+1\right)^2-4mn=m^2n^2+2mn+1-4mn=m^2n^2-2mn+1\)
\(=\left(mn-1\right)^2>0\forall m,n\)
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m;n