Cho 33 điểm phân biệt (không có 3 điểm nào thẳng hàng) nằm trong hình vuông có cạnh bằng 4. Người ta vẽ các đường tròn có tâm là 33 điểm đó và có bán kính bằng căn 2. Hỏi có hay không 3 điểm trong số các điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 đường tròn có tâm chính là 3 điểm đó?

Cho a, b ,c là các số thực dương. CMR: (a+b)²+\(\frac{a+b}{2}\)\(\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR : a³+b³+c³+2abc < a²(b+c) + b²(a+c) + c²(a+b)

Có một chiếc bàn tròn và những đồng xu giống hệt nhau. Hai người chơi một trò chơi như sau : lần lượt từng người đặt một đồng xu lên bàn mà không làm xê dịch các đồng xu khác trên bàn, và không được đặt đồng xu nọ chồng lên đồng xu kia, dù chỉ một phần. Ai hết chỗ đặt đồng xu trước thì người đó thua cuộc. Biết rằng số lượng đồng xu là không hạn chế và người đi trước thực hiện theo chiến thuật : đặt đồng xu của mình đối xứng với đồng xu của người kia qua tâm của chiếc bàn. Hỏi người đi sau làm thế nào để dành phần thắng?

Cho x>0, y>0, z>0 và x+2y+3z\(\ge\)20. Tìm GTLN của P= x+y+z+\(\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}+\frac{4}{z}\)

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=2, chứng minh rằng:\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+a+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+a+b+c}\le\sqrt{2}\)

Cho tam giác ABC có góc BAC = 2 (góc ABC). Chứng minh BC² = AC² + AB.AC

Cho hình vuông ABCD, gọi I là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Vẽ tam giác AMD vuông tại M về phía ngoài của hình vuông ABCD sao cho AM < MD. Chứng minh: \(\frac{AM+MD}{IM}=\sqrt{2}\)

CMR: n³ + 1 không là số chính phương với mọi n ∈ N* và n lẻ

Chứng minh các số sau không là số chính phương:

a/ A = 1 + 1919 + 93199 + 19931994