Question

Cho m,n là số thức khác không và 1/m+1/n=1/2

Chứng minh phương trình (x^2+mx+n)(x^2+nx+m)=0 luôn có nghiệm

Answer 1

\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2m+2n=mn\) \(\Rightarrow4\left(m+n\right)=2mn\)

Xét phương trình (1): \(x^2+mx+n=0\) và pt (2): \(x^2+nx+m=0\)

\(\Delta_1=m^2-4n\) ; \(\Delta_2=n^2-4m\)

\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=m^2+n^2-4\left(m+n\right)=m^2+n^2-2mn=\left(m-n\right)^2\)

\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2\ge0\) \(\forall m;n\)

\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất một trong 2 biểu thức \(\Delta_1\) hoặc \(\Delta_2\) không âm

\(\Rightarrow\) Luôn có ít nhất 1 trong 2 pt (1) và (2) có nghiệm

\(\Rightarrow\) Pt đã cho luôn có nghiệm