a: 

b: Để (d)//(d') thì \(\left\{{}\begin{matrix}m+1=2\\6< >-2\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>m+1=2

=>m=1

c:

(d'): y=(m+1)x+6

=>(m+1)x-y+6=0

Khoảng cách từ O đến (d') là:

\(d\left(O;\left(d'\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot\left(m+1\right)+0\cdot\left(-1\right)+6\right|}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}}\)

Để \(d\left(O;\left(d'\right)\right)=3\sqrt{2}\) thì \(\dfrac{6}{\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}}=3\sqrt{2}\)

=>\(\sqrt{\left(m+1\right)^2+1}=\sqrt{2}\)

=>\(\left(m+1\right)^2+1=2\)

=>\(\left(m+1\right)^2=1\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m+1=1\\m+1=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\end{matrix}\right.\)

- Gọi M(x₀,y₀) ,N(x₁,y₁) lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d): \(y=\left(2m-3\right)x-1\) với trục tung, trục hoành \(\Rightarrow x_0=y_1=0\).

Vì M(0;y₀) thuộc (d) nên: \(y_0=\left(2m-3\right).0-1=-1\)

\(\Rightarrow M\left(0;-1\right)\) nên \(OM=1\) (đvđd)

    \(N\left(x_1;0\right)\) thuộc (d) nên: \(\left(2m-3\right)x_1-1=0\Rightarrow x_1=\dfrac{1}{2m-3}\)

\(\Rightarrow N\left(\dfrac{1}{2m-3};0\right)\) nên \(ON=\dfrac{1}{2m-3}\) (đvđd)

*Hạ OH vuông góc với (d) tại H \(\Rightarrow OH=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

Xét △OMN vuông tại O có OH là đường cao.

\(\Rightarrow\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}=\dfrac{1}{OH^2}\)

\(\Rightarrow1+\left(2m-3\right)^2=5\)

\(\Rightarrow2m-3=\pm2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{5}{2}\\m=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)

a: Thay x=2 và y=-1 vào (d), ta được:

2(m-2)+5=-1

=>2(m-2)=-6

=>m-2=-3

=>m=-1

b: (d): y=(m-2)x+5

=>(m-2)x-y-5=0

Khoảng cách từ O đến (d) là:

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|0\left(m-2\right)+0\left(-1\right)-5\right|}{\sqrt{\left(m-2\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{5}{\sqrt{\left(m-2\right)^2+1}}\)

Để d(O;(d))=3 thì \(\dfrac{5}{\sqrt{\left(m-2\right)^2+1}}=3\)

=>\(\sqrt{\left(m-2\right)^2+1}=\dfrac{5}{3}\)

=>\(\left(m-2\right)^2+1=\dfrac{25}{9}\)

=>\(\left(m-2\right)^2=\dfrac{16}{9}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-2=\dfrac{4}{3}\\m-2=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{10}{3}\\m=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

a.

Gọi A là giao điểm của d với Ox \(\Rightarrow-2x_A+6=0\Rightarrow x_A=3\)

\(\Rightarrow OA=\left|x_A\right|=3\)

Gọi B là giao điểm của d với Oy \(\Rightarrow y_B=-2.0+6=6\)

\(\Rightarrow OB=\left|y_B\right|=6\)

Kẻ OH vuông góc AB \(\Rightarrow OH=d\left(O;d\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB:

\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{5}{36}\)

\(\Rightarrow OH=\dfrac{6\sqrt{5}}{5}\)

b.

Với \(m=0\Rightarrow y=-1\Rightarrow\) k/c từ O tới d là 1 (ktm)

Với \(m=1\Rightarrow y=-x\) đi qua O nên k/c từ O tới d bằng 0 (ktm)

Với \(m\ne\left\{0;1\right\}\):

Gọi A là giao điểm của d với Ox \(\Rightarrow-mx_A+m-1=0\Rightarrow x_A=\dfrac{m-1}{m}\)

\(\Rightarrow OA=\left|x_A\right|=\left|\dfrac{m-1}{m}\right|\)

Gọi B là giao điểm của d với Oy \(\Rightarrow y_B=-m.0+m-1=m-1\)

\(\Rightarrow OB=\left|y_B\right|=\left|m-1\right|\)

Trong tam giác vuông OAB, kẻ OH vuông góc AB \(\Rightarrow OH=d\left(O;d\right)\)

\(\Rightarrow OH=\sqrt{3}\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}=\dfrac{m^2}{\left(m-1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2}\)

\(\Rightarrow3\left(m^2+1\right)=\left(m^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2+m+1=0\) (vô nghiệm)

Vậy ko tồn tại m thỏa mãn yêu cầu

Với \(m=\dfrac{4}{3};1\) không thỏa mãn

Với \(m\ne\dfrac{4}{3};1\) gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d) với 2 trục tọa độ

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(0;-m+1\right)\\B\left(0;\dfrac{m-1}{4-3m}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OA=\left|m-1\right|\\OB=\left|\dfrac{m-1}{4-3m}\right|\end{matrix}\right.\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (d) \(\Rightarrow OH=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB:

\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\Leftrightarrow5=\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2}+\left(\dfrac{4-3m}{m-1}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2m^2-7m+6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

x² + 2x -m² + 1 = 0 

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì pt này phải có hai nghiêm phân biệt x_D và x_E và x_D + x_E = 0

Áp dụng định lý Vi-et thì x_D +x_E = -2 \(\Rightarrow\)m \(\in\varnothing\)