\(P=\frac{1}{25a}+\frac{1}{16b}+\frac{1}{9c}=\frac{\frac{1}{25}}{a}+\frac{\frac{1}{16}}{b}+\frac{\frac{1}{9}}{c}\ge\frac{\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\right)^2}{a+b+c}=\frac{2209}{3600}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{\frac{1}{5}}{a}=\frac{\frac{1}{4}}{b}=\frac{\frac{1}{3}}{c}=\frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}{a+b+c}=\frac{47}{60}\)

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{5}:\frac{47}{60}=\frac{12}{47}\\b=\frac{1}{4}:\frac{47}{60}=\frac{15}{47}\\c=\frac{1}{3}:\frac{47}{60}=\frac{20}{47}\end{cases}}\)

... 

Phùng Minh Quân làm đúng đó !

k bạn ý đi !!!

\(VT\ge\dfrac{a^2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)

Đặt \(\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=\sqrt{2019}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\dfrac{x^2+z^2-y^2}{2}\\c^2=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\sqrt{2}VT\ge\dfrac{y^2+z^2-x^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{z}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{2}VT\ge\dfrac{y^2+z^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2}{z}-\left(x+y+z\right)\)

\(2\sqrt{2}VT\ge\dfrac{\left(y+z\right)^2}{2x}+\dfrac{\left(z+x\right)^2}{2y}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2z}-\left(x+y+z\right)\)

\(2\sqrt{2}VT\ge\dfrac{4\left(x+y+z\right)^2}{2x+2y+2z}-\left(x+y+z\right)=x+y+z=\sqrt{2019}\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\sqrt{2019}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{2019}{8}}\) (đpcm)

\(\Sigma\frac{b+1}{8-\sqrt{a}}\le\Sigma\frac{2\left(b+1\right)}{15-a}=\Sigma\frac{2\left(a+2b+c\right)}{4a+5b+5c}\)(AM-gm)

Đặt \(\left\{\begin{matrix}x=4a+5b+5c\\y=4b+5a+5c\\z=4c+5a+5b\end{matrix}\right.\)suy ra...

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\geq b\geq c\). Khi đó, hiển nhiên \(\frac{1}{1-\sqrt{a}}\geq \frac{1}{1-\sqrt{b}}\geq\frac{1}{1-\sqrt{c}}\)

Áp dụng BĐT Chebyshev cho hai bộ số trên:

\(3\text{VT}\leq (a+1+b+1+c+1)\left ( \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}} \right )=6\left ( \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}} \right )(1)\)

Giờ ta chỉ cần CM \(A= \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}}\leq \frac{3}{7}\)

Dùng hệ số bất định thôi, ta sẽ CM \(\frac{1}{1-\sqrt{a}}\leq \frac{1}{7}+\frac{1}{98}(a-1)\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)^2(6-\sqrt{a})\geq 0\). BĐT này luôn đúng với mọi \(0< a<3\)

Tương tự với các phân thức còn lại \(\Rightarrow \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}}\leq \frac{3}{7}+\frac{a+b+c-3}{98}=\frac{3}{7}(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{6}{7}\). Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Mình đã giải tại đây https://hoc24.vn/hoi-dap/question/169464.html

Ta có: \(a< a+b\left(a,b>0\right)\Rightarrow\frac{a}{a+b}< 1\)

Có: \(\frac{a}{a+b}=\sqrt{\frac{a}{a+b}}.\sqrt{\frac{a}{a+b}}\)

Lại có: \(\frac{a}{b+a}< 1\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{b+a}}< 1\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{a+b}}.\sqrt{\frac{a}{a+b}}< \sqrt{\frac{a}{a+b}}\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \sqrt{\frac{a}{a+b}}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{b}{b+c}< \sqrt{\frac{b}{b+c}}\)

\(\frac{c}{c+a}< \sqrt{\frac{c}{c+a}}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\)

                                                                                               đpcm

Sai thì thôi nhé~

Mới lp 8