Với các số ko âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1, tính Max, Min của P = \(\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}\)
Chị @Akai Haruma giải hộ e bài này ạ
Các thiên tài toán học ơi giải hộ mình bài này với ạ!
Cảm ơn !
Bài 1 (1 đ) : Cho ba số không âm \(a,b,c\) thỏa mãn \(a+c\ge b\) và \(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\text{=}\sqrt{a-b+c}\) . Tính giá trị của biểu thức : \(A\text{=}a^{2021}-b^{2021}+c^{2021}-\left(a+b+c\right)^{2021}\)
Đề bài mình sửa lại : A = a2021 - b2021 + c2021 - (a - b + c)2021
Ta có \(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{a-b+c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=a-b+c\)
\(\Leftrightarrow b-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)-\sqrt{c}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right).\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=c\\b=a\end{matrix}\right.\)
Với b = c
A = a2021 - b2021 + c2021 - (a - b + c)2021
= a2021 - a2021
= 0
Tương tự với b = a ta được A = 0
Vậy A = 0
Nếu không sửa thì
P = a2021 - (a + 2b)2021 khi b = c
hoặc P = c2021 - (2b + c)2021 khi b = a
và giá trị của P còn phụ thuộc vào a,b,c , không phải là hằng số .
sao lại sửa đề là thế nào á anh đề bài người ta cho như vậy mà anh !
1 . Cho 2 số thực a , b thỏa mãn a + b = 20 . Tìm min \(T=a^3+b^3\)
2 . a , Tìm các số a , b , c thỏa mãn : \(\sqrt{a}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-2}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
b , Cho a + 2b = 1 . Tìm max của ab .
1,\(T=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left(a^2-ab+b^2\right)=\)
\(=10\left(a^2-2ab+b^2\right)+10\left(a^2+b^2\right)\)
\(\ge10\left(a-b\right)^2+5.\left(a+b\right)^2\ge0+5.20^2=2000\)
2,a,\(\sqrt{a}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-2}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+b-2\sqrt{b-1}+c-2\sqrt{c-2}=0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+1+b-1-2\sqrt{b-1}+1+c-2+2\sqrt{c-2}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{b-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{c-2}-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\)
b,sai đề
Xét \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow10\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow100\ge ab\)
\(T=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left[a^2+2ab+b^2-3ab\right]=20\left(20\right)^2-6ab\)
\(T\ge20.20^2-6.100=7400\)
b. \(1=\left(a+2b\right)^2\ge4.a.2b=8ab\)
\(\Rightarrow ab\le\frac{1}{8}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=\frac{1}{2}\);\(b=\frac{1}{8}\)
Cho a,b,c không âm thoả mãn a+b+c=1.Tìm max p=\(\sqrt{\frac{a}{a+1}}+\sqrt{\frac{b}{b+1}}+\sqrt{\frac{c}{c+1}}\)
\(P=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{a+1}}=\Sigma_{cyc}2\sqrt{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{a+1}\right)}\)
\(\le\Sigma_{cyc}\left[\frac{1}{4}+\left(1-\frac{1}{a+1}\right)\right]=\frac{15}{4}-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)
\(\le\frac{15}{4}-\frac{9}{a+b+c+3}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cách khác:
\(P=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{a+1}}=\Sigma_{cyc}\sqrt{a.\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}}\)
\(\le\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{1}{4}a\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)}=\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\sqrt{1\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}.\Sigma_{cyc}\left(1+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Giải hộ mình mấy bài này với:
1)cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{3}{2}\)
2)Cho 3 số x,y,z khác không thỏa mãn:\(\hept{\begin{cases}x+y+z=2010\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2010\end{cases}}\)
Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z luôn tồn tại 2 số đối nhau.
a) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=2018 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2018}\) . Tính giá trị của biểu thức \(A=\frac{1}{a^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}\)
b) Rút gọn biểu thức : \(\frac{\sqrt{\sqrt{5}+2}\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}\)
Nhờ các bn giải dùm !!!
chờ a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=abc
CMR: \(\sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}}\ge\sqrt{a+b+c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn \(a+b+c< \sqrt{3}\)Tìm Max \(A=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
ta có:
\(A^2=\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^2\le\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\right)\) (BĐT Bu-nhi-a)
=>\(A^2\le\sqrt{3}\left(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\right)\) (*)
mặt khác ta có: \(a^2+1\ge2a\) (BĐT cauchy ) =>\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{2}\)
tương tự ta có: \(\frac{b}{b^2+1}\le\frac{1}{2}\) ; \(\frac{c}{c^2+1}\le\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\) (**)
từ (*),(**) => \(A^2\le\sqrt{3}.\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
=>\(A\le\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}\)
=> GTLN của A là \(\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}\) <=> a=b=c<\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Ta có:
\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}\)
\(\le\frac{\sqrt[8]{27}a}{\sqrt{4\sqrt[4]{a^2}}}=\frac{\sqrt[8]{27a^6}}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt[8]{a^6.\frac{1}{3}}\)
\(\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{6a+\frac{2}{\sqrt{3}}}{8}\left(1\right)\)
Tương tự ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{6b+\frac{2}{\sqrt{3}}}{8}\left(2\right)\\\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{6c+\frac{2}{\sqrt{3}}}{8}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2), (3)
\(\Rightarrow A\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{6}{8\sqrt{3}}+\frac{6}{8}\left(a+b+c\right)\right)\)
\(\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{3}{4\sqrt{3}}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
2. Cho a,b,c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c= \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). CMR:\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
2. Cho a,b,c là ba số thực không âm thỏa mãn a+b+c= \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). CMR:\(\frac{\sqrt{a}}{1+a}+\frac{\sqrt{b}}{1+b}+\frac{\sqrt{c}}{1+c}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)