a) Vì \(\hept{\begin{cases}\left|4x-3\right|\ge0\forall x\\\left|5y+7\right|\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow\left|4x-3\right|+\left|5y+7\right|\ge0\forall x,y\)

=> \(\left|4x-3\right|+\left|5y+7\right|+17,5\ge17,5\forall x\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left|4x-3\right|=0\\\left|5y+7\right|=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{4}\\y=-\frac{7}{5}\end{cases}}\)

Vậy GTNN là 17,5 khi x = 3/4,y = -7/5

b) \(2\left|3x-1\right|-4\)

Vì |3x - 1| \(\ge\)0 \(\forall\)x

=> 2|3x - 1| - 4 \(\ge\)-4\(\forall\)x

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi |3x - 1| = 0 => x = 1/3

Vậy GTNN là -4 khi x = 1/3

c) Đây là GTLN mà ?

Vì \(\hept{\begin{cases}\left|5-2x\right|\ge0\forall x\\\left|3y+12\right|\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow\left|5-2x\right|-\left|3y+12\right|\ge0\forall x,y\)

=> \(4-\left|5-2x\right|-\left|3y+12\right|\le4\forall x,y\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left|5-2x\right|=0\\\left|3y+12\right|=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\y=-4\end{cases}}\)

Vậy GTLN là 4 khi x = 5/2,y = -4

Mình giải cơ bản mà mọi người cùng hiểu 
x = (7 + 3y)/4 
Thế vào : 2( 7 + 3y)² / 16 + 5y² 
= ( 7 + 3y)² / 8 + 5y² 
= [( 7 + 3y)² + 40y² ] / 8 
= ( 49 + 42y + 9y² + 40y² ) / 8 
= ( 49 + 42y + 49y² ) / 8 
= [ (7y)² + 2.7.3y + 9 + 40 ] / 8 
= ( 7y + 3 )²/8 + 40/8 
= (7y + 3)²/8 + 5 
Ta có : (7y + 3)² ≥ 0 , với mọi y thuộc |R 
<=> (7y + 3)²/8 ≥ 0 , với mọi y thuộc |R 
<=> (7y + 3)²/8 + 5 ≥ 5 , với mọi y thuộc |R 
Dấu "=" xảy ra khi (7y + 3)² = 0 <=> 7y + 3 = 0<=> y = -3/7 => x = 10/7 
Vậy giá trị nhỏ nhất của 2x² + 5y² là Amin = 5 khi (x ; y) = ( 10/7 ; -3/7 )

x = (7 + 3y)/4 
Thế vào : 2( 7 + 3y)² / 16 + 5y² 
= ( 7 + 3y)² / 8 + 5y² 
= [( 7 + 3y)² + 40y² ] / 8 
= ( 49 + 42y + 9y² + 40y² ) / 8 
= ( 49 + 42y + 49y² ) / 8 
= [ (7y)² + 2.7.3y + 9 + 40 ] / 8 
= ( 7y + 3 )²/8 + 40/8 
= (7y + 3)²/8 + 5 
Ta có : (7y + 3)² ≥ 0 , với mọi y thuộc |R 
<=> (7y + 3)²/8 ≥ 0 , với mọi y thuộc |R 
<=> (7y + 3)²/8 + 5 ≥ 5 , với mọi y thuộc |R 
Dấu "=" xảy ra khi (7y + 3)² = 0 <=> 7y + 3 = 0<=> y = -3/7 => x = 10/7 
Vậy giá trị nhỏ nhất của 2x² + 5y² là Amin = 5 khi (x ; y) = ( 10/7 ; -3/7 )

a. \(x+2y=1\Rightarrow x=1-2y\). Thay vào ta được:

\(A=\left(1-2y\right)^2+2y^2=1-4y+4y^2+2y^2=6y^2-4y+1=6\left(y^2-\dfrac{2}{3}y+\dfrac{1}{3}\right)=6\left(y^2-2.y.\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{4}{3}=\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{4}{3}\)\(\Rightarrow Min_A=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{3}\)

b. \(4x-3y=7\Rightarrow x=\dfrac{7+3y}{4}\) Thay vào ta được:

\(2.\left(\dfrac{7+3y}{4}\right)^2+5.y^2=2.\left(\dfrac{49+42y+9y^2}{16}\right)+5y^2=\dfrac{98+84y+18y^2+80y^2}{16}=\dfrac{98y^2+84y+98}{16}=\dfrac{98\left(y^2+\dfrac{6}{7}y+\dfrac{9}{49}\right)+80}{16}=\dfrac{98\left(y+\dfrac{3}{7}\right)^2+80}{16}\ge5\)\(\Rightarrow Min_B=5\Leftrightarrow x=\dfrac{10}{7};y=-\dfrac{3}{7}\)

c. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a^3 + b^3. - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

1)

ta có: x+2y=1 => x=1-2y

thay vào bt, ta có:

\(A=\left(1-2y\right)^2+2y^2=1-4y+4y^2+2y^2=6y^2-4y+1\\ A=6\left(x-\dfrac{4}{2.6}\right)^2+\dfrac{4.6.1-\left(-4\right)^2}{4a}\ge\dfrac{4.6.1-\left(-4\right)^2}{46}=\dfrac{1}{3}\)

A đạt min khi x-1/3=0 => x=1/3

vậy MIN A=1/3 tại x=1/3

áp dụng bđt cô si cho 4 số ta có

\(x^4+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}\ge4\sqrt[4]{x^4.\dfrac{1}{16}.\dfrac{1}{16}.\dfrac{1}{16}}\)

⇔ \(x^4+\dfrac{3}{16}\ge x.\dfrac{1}{2}\)

cmtt ta có

\(y^4+\dfrac{3}{16}\ge y\dfrac{1}{2}\)

cộng các vế của bđt trên ta có

\(x^4+y^4+\dfrac{3}{8}\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)\)

⇔ \(C+\dfrac{3}{8}\ge\dfrac{1}{2}\)

⇔ \(C\ge\dfrac{1}{8}\)

minC=\(\dfrac{1}{8}\) khi x=y=\(\dfrac{1}{2}\)

a) \(3^{x+2}\cdot5^{y-3}=45^x\)

\(\Rightarrow3^{x+2}\cdot5^{y-3}=\left(3^2\right)^x\cdot5^x\)

\(\Rightarrow3^{x+2}\cdot5^{y-3}=3^{2x}\cdot5^x\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3^{x+2}=3^{2x}\\5^{y-3}=5^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2=2x\\y-3=x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y-3=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=5\end{matrix}\right.\)