Ta có: a² +a+1=(a² +2a1/2+1/4 )+ 3/4 =(a+1/2)² +3/4 >0

 Tương tự: a² -a+1=( a-1/2 )² +3/4 >0

Vậy suy ra điều cần cm

Ta có :a ²+a+1=(a ²+a+1/4)+3/4=(a+1/2) ²+3/4

          a ²-a+1=(a ²-a+1/4)+3/4=(a-1/2) ²+3/4

Vì (a-1/2) ² ≥  0;(a-1/2)²≥  0 với mọi a nên suy ra điều phải chứng minh

\(A=\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}\)\(=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{a}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4a}}+\frac{9}{2}.\frac{a^2+1}{2a}\)

\(\ge2.\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{9}{2}.1=1+\frac{9}{2}=\frac{11}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=1\)

đây nhé

Ta có a(a + 1) + 1  = a² + a + 1 = \(a^2+2.\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\)(đpcm) 

\(\dfrac{a^2+a+1}{a^2-a+1}=\dfrac{a^2+2.a.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}{a^2-2.a.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}\)

\(=\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}{\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}>0\) ( luôn đúng)

\(A=\left(x-1\right)\left(x-3\right)+2=x^2-4x+3+2=\left(x^2-4x+4\right)+1=\left(x-2\right)^2+1\ge1>0\forall x\)

.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 3

Chứng minh rằng với mọi k > 0 ta luôn có.

Đặt \(A=\frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+......+\frac{1}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\)

\(=>3A=\frac{3}{2.5}+\frac{3}{5.8}+\frac{3}{8.11}+....+\frac{3}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}\)

=> \(3A=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+....+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\)

=>\(3A=\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\)

=> \(3A=\frac{\left(3n+2\right):2}{3n+2}-\frac{1}{3n+2}\)

=> \(3A=\frac{1,5.n}{3n+2}\)

=>\(A=\frac{1,5.n}{3n+2}.\frac{1}{3}=>A=\frac{1,5.n}{\left(3n+2\right).3}=\frac{1,5.n}{9n+6}\)

\(Hay\) \(A=\frac{1,5n:1,5}{\left(9n+6\right):1,5}=\frac{n}{9n:1,5+6:1,5}=\frac{n}{6n + 4} \left(đpcm\right)\)

Ta có: a/(a+b) > a/(a+b+c) 

b/(b+c) > b/(b+c+a) 

c/(c+a) > c/(c+a+b)

=> [a/(a+b)] + [b/(b+c)] + [c/(c+a)] > [a/(a+b+c)] + [b/(a+b+c)] + [c/(a+b+c)]

=> [a/(a+b)] + [b/(b+c)] + [c/(c+a)] > 1

Lại có: a/(a+b) < (a+b)/(a+b+c) 

b/(b+c) < (b+c)/(b+c+a) 

c/(c+a) < (c+a)/(c+a+b)

=> [a/(a+b)] + [b/(b+c)] + [c/(c+a)] < [(a+b)/(a+b+c)] + [(b+c)/(a+b+c)] + [(c+a)/(a+b+c)]

=> [a/(a+b)] + [b/(b+c)] + [c/(c+a)] < [2.(a+b+c)]/(a+b+c)

=> [a/(a+b)] + [b/(b+c)] + [c/(c+a)] < 2 

Vậy .....

=))hihihi

day ko phai lop 4ok