Phương trình đã cho nghiệm đúng với  hay phương trình có vô số nghiệm khi

m 2 − 3 m + 2 = 0 − ( m 2 + 4 m + 5 ) = 0 ⇔ m = 1 m = 2 m ∈ ∅ ⇔ m ∈ ∅

Đáp án cần chọn là: D

\(x^2-2\left(m-1\right)x+4m+8< 0\)

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(4m+8\right)\)

\(=4m^2-4m+1-16m+32\)

\(=4m^2-20m+33\)

Để BPT vô nghiệm thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4m^2-20m+33< =0\\1>0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>\(4m^2-20m+33< =0\)

=>\(\left(2m-5\right)^2+8< =0\)(vô lý)

=>\(m\in\varnothing\)

Đặt \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=t\)

\(t\ge\sqrt{x-1+5-x}=2\)

\(t\le\sqrt{2\left(x-1+5-x\right)}=2\sqrt{2}\)

\(t^2=4+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(5-x\right)}\Rightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(5-x\right)}=\dfrac{t^2-4}{2}\)

Pt trở thành:

\(t+\dfrac{3\left(t^2-4\right)}{2}=m\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}t^2+t-6=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\dfrac{3}{2}t^2+t-6\) với \(t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{3}\notin\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=6+2\sqrt{2}\) \(\Rightarrow2\le f\left(t\right)\le6+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi \(2\le m\le6+2\sqrt{2}\)

Đáp án D.

Ta có:

P T ⇔ m 9 4 x − 2 m + 1 6 4 x + m ≤ 0 ⇔ m 3 2 2 x − 2 m + 1 3 2 x + m ≤ 0

Đặt t = 3 2 x ;  do x ∈ 0 ; 1 ⇒ t ∈ 1 ; 3 2 .  Khi đó PT trở thành: m t 2 − 2 m + 1 t + m ≤ 0 ⇔ m t 2 − 2 t + 1 ≤ t

Rõ ràng t = 1 là nghiệm của BPT đã cho.

Với t ∈ 1 ; 3 2 ⇒ m ≤ t t − 1 2 = f t ,  xét f x  với t ∈ 1 ; 3 2  ta có:

f ' t = t − 1 − 2 t t − 1 3 = − t − 1 t − 1 2 < 0 ∀ t ∈ 1 ; 3 2

do đó f t   nghịch biến trên 1 ; 2 3 .

Do đó BPT nghiệm đúng vơi ∀ t ∈ 1 ; 3 2 ⇔ m ≤ M i n 1 ; 3 2 f t = f 3 2 = 6

Vậy có 6 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.

Đáp án D.

Ta có:

P T ⇔ m 9 4 x - 2 m + 1 6 4 x + m ≤ 0

⇔ m 3 2 2 x - 2 m + 1 3 2 x + m ≤ 0

Đ ặ t   t = 3 2 x ;   d o   x ∈ 0 ; 1 ⇒ t ∈ 1 ; 3 2 .

Khi đó PT trở thành:

  m t 2 - 2 m + 1 t + m ≤ 0 ⇔ m t 2 - 2 t + 1 ≤ t

Rõ ràng t =1 là nghiệm của BPT đã cho.

D o   đ ó   B P T   n g h i ệ m   đ ú n g   v ớ i   ∀ t ∈ 1 ; 3 2

⇔ m ≤ M i n 1 ; 3 2 f t = f 3 2 = 6 .

Vậy có 6 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn.

\(\Rightarrow sinx+2=m.cosx\)

\(\Rightarrow sinx-m.cosx=-2\)

Pt đã cho vô nghiệm khi:

\(1^2+\left(-m\right)^2< \left(-2\right)^2\)

\(\Rightarrow m^2< 3\)

\(\Rightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Đáp án C.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:  

m . s inx+4cosx 2 ≤ m 2 + 4 2 sin 2 x + c os 2 x = m 2 + 16.

Nên để phương trình đã cho có nghiệm   ⇔   3 m − 5 2 ≤ m 2 + 16 ⇔ 3 m 2 20 m + 9 ≤ 0.

Kết hợp với m ∈ ℤ ,  ta được m = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6  là giá trị cần tìm.