Đáp số: p=3

Với p = 3 -> p²+2 = 11 là số nguyên tố. Nên p=3 là 1 nghiệm. 

Với các số nguyên tố khác 3 thì chúng đều không chia hết cho 3. Nên chúng có dạng p = 3k+1 hoặc p=3k+2. Với k là 1 số nguyên không âm. 

Mặt khác ta có: p² = 9k²+6k+1 đồng dư với 1 mod 3. Hoặc p² = 9k² + 12k + 4 = 9k² + 12k + 3 +1 đồng dư với 1 mod 3. (*) 

Do đó p²+2 sẽ đồng dư với 1 + 2 = 3 mod 3. Tức p²+2 chia hết cho 3. Mà p²+2 là số nguyên tố nên p²+2 chỉ có thể bằng 3 -> p = 1 (vô lý). 

Vậy p = 3 là nghiệm duy nhất của bài toán. 

Dễ thấy y \(\ne\) 2. Do đó y lẻ. Suy ra 19x⁴ chẵn hay x⁴ chẵn.
\(\Rightarrow\) x chẵn
Mà x là số nguyên tố nên x = 2. Thay vào ta có: y² = 19 . 2⁴ + 57
\(\Rightarrow\) y² = 19 . (2⁴ + 3) = 19 . 19²
\(\Rightarrow\) y = 19, thoả mãn là số nguyên tố.

Vậy (x, y) = (2; 19).

Lời giải:
Xét số dư của $p$ khi chia cho $5$

Nếu $p=5k(k\in\mathbb{N}$ thì $p\vdots 5$. Mà $p$ là số nguyên tố nên $p=5$. Thay vào thấy các số đã cho đều là nguyên tố (thỏa mãn)

Nếu $p=5k+1(k\in\mathbb{N}\Rightarrow p+14=5k+15\vdots 5$. Mà $p+14>5$ nên không thể là số nguyên tố (loại) 

Nếu $p=5k+2(k\in\mathbb{N}\Rightarrow p+8=15k+10\vdots 5$. Mà $p+8>5$ nên không thể là số nguyên tố (loại)

Nếu $p=5k+3(k\in\mathbb{N}\Rightarrow p+12=5k+15\vdots 5$. Mà $p+12>5$ nên không thể là số nguyên tố (loại)

Nếu $p=5k+4(k\in\mathbb{N}\Rightarrow p+6=5k+10\vdots 5$. mà $p+6>5$ nên không thể là số nguyên tố (loại)

Vậy $p=5$

Vì 4 số nguyên tố có tổng là số lẻ \(\Rightarrow\)có một số là chẵn

\(\Rightarrow\)Số chẵn trong 4 số đó là 2

\(\Rightarrow\)3 số nguyên tố tiếp theo lần lượt là 3 ; 5 ; 7

Vậy 4 số nguyên tố liên tiếp có tổng là số nguyên tố là 2 ; 3 ; 5 ; 7

các số nguyên tố là:2;3;5;7

nhớ k cho mình nhé mình k lại cho

2;3;5;7

\(\Rightarrow19.x^4+19.3=y.y\)

\(\Rightarrow19(x^4+3)=y.y\)

\(\Rightarrow y=19\)

\(\Rightarrow x^4+3=19\)

\(\Rightarrow x^4=16\)

\(\Rightarrow x^4=2^4\)

\(\Rightarrow x=2\)

Vậy y=19 ; x=2

19x^4 + 57 = y^2

=> 19x^4 + 19 . 3 = y . y

=> 19 ( x^4 + 3 ) = y . y

=> y = 19

=> x^4 + 3 = 19 

=> x^4 = 16

=> x^4 = 2 ^4

=> x = 2

Vay x = 2 , y = 19

Chuc ban hc tot