Question

tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho \(p^2\) \(+2^p\)cũng là số ngyên tố

Answer 1

Với p = 3 -> p²+2 = 11 là số nguyên tố. Nên p=3 là 1 nghiệm. 

Với các số nguyên tố khác 3 thì chúng đều không chia hết cho 3. Nên chúng có dạng p = 3k+1 hoặc p=3k+2. Với k là 1 số nguyên không âm. 

Mặt khác ta có: p² = 9k²+6k+1 đồng dư với 1 mod 3. Hoặc p² = 9k² + 12k + 4 = 9k² + 12k + 3 +1 đồng dư với 1 mod 3. (*) 

Do đó p²+2 sẽ đồng dư với 1 + 2 = 3 mod 3. Tức p²+2 chia hết cho 3. Mà p²+2 là số nguyên tố nên p²+2 chỉ có thể bằng 3 -> p = 1 (vô lý). 

Vậy p = 3 là nghiệm duy nhất của bài toán.