Ta có: \(a^3-a^2b+ab^2-6b^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-2a^2b\right)+\left(a^2b-2ab^2\right)+\left(3ab^2-6b^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-2b\right)+ab\left(a-2b\right)+3b^2\left(a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(a^2+ab+3b^2\right)=0\)

mà \(a^2+ab+3b^2>0\forall a>b>0\)

nên a-2b=0

hay a=2b

Ta có: \(P=\dfrac{a^4-b^4}{b^4-4a^4}\)

\(=\dfrac{\left(2b\right)^4-b^4}{b^4-4\cdot\left(2b\right)^4}=\dfrac{16b^4-b^4}{b^4-4\cdot16b^4}=\dfrac{15b^4}{-63b^4}=\dfrac{-5}{21}\)

Đáp án:

Cho a,b,c thỏa mãn:

2ab(2b-a)-2ac(c-2a)-2bc(b-2c)= 7abc

CMR:Tồn tại 1số bằng 2 số kia.

Giải thích các bước giải:

Do a và b nguyên ta cộng 1 vào vế trái của BPT đã cho và được:

a² -2ab + 2b² - 4a + 8 < hoặc = 0

<=> 2a² - 4ab + 4b² - 8a + 16 < hoặc = 0

<=> ( a-2b)² + (a-4)² < hoặc = 0

Dấu "=" xảy ra khi :

a=4;b=2

\(A=\sqrt{2b\left(a+1\right)}+\sqrt{2c\left(b+1\right)}+\sqrt{2a\left(c+1\right)}\)

\(A=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4b\left(a+1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4c\left(b+1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4a\left(c+1\right)}\)

\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4b+a+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4c+b+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4a+c+1\right)\)

\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[5\left(a+b+c\right)+3\right]=2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Do a và b nguyên ta cộng 1 vào vế trái của BPT đã cho và được:

a² -2ab + 2b² - 4a + 8 < hoặc = 0

<=> 2a² - 4ab + 4b² - 8a + 16 < hoặc = 0

<=> ( a-2b)² + (a-4)² < hoặc = 0

Dấu "=" xảy ra khi :

a=4;b=2

Do a và b nguyên ta cộng 1 vào vế trái của BPT đã cho và được:

a² -2ab + 2b² - 4a + 8 < hoặc = 0

<=> 2a² - 4ab + 4b² - 8a + 16 < hoặc = 0

<=> ( a-2b)² + (a-4)² < hoặc = 0

Dấu "=" xảy ra khi :

a=4;b=2

\(a\ge2b\Rightarrow\dfrac{a}{b}\ge2\)

\(P=2\left(\dfrac{a}{b}\right)+\left(\dfrac{b}{a}\right)-2=\dfrac{a}{4b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{7}{4}\left(\dfrac{a}{b}\right)-2\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{4ab}}+\dfrac{7}{4}.2-2=\dfrac{5}{2}\)

\(P_{min}=\dfrac{5}{2}\) khi \(a=2b\)