Bài 1

Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)

Biến đổi:

\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)

\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)

\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)

Áp dụng BĐT Am-Gm:

\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)

\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Vì \(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)

\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.

Bài 2a)

Ta có

\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)

\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)

\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)

Vì \(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)

\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó

Câu 2b)

Đặt \((a,b,c)\mapsto(x-1,y-1,z-1)\)

Khi đó ta có \(0\leq x,y,z\leq 3,x+y+z=3\)

Cần cm

\(2(x-1)(y-1)(z-1)\leq (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\leq 2(x-1)(y-1)(z-1)+2\)

Vế đầu:

Khai triển kết hợp với $x+y+z=3$ thì \(\text{BĐT}\Leftrightarrow xyz\leq 1\)

Điều này đúng vì theo AM-GM cho số không âm thì \(3=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\rightarrow xyz\leq 1\)

Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=0$

Vế sau:

Tương tự phần trên \(\text{BĐT}\Leftrightarrow xyz\geq 0\) ( luôn đúng do $x,y,z\geq 0$)

Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(2,-1,-1)$ và hoán vị

Lưu ý: "Khi" khác với "khi và chỉ khi"- nghĩa là chỉ nêu 1TH chứ chưa quét hết toàn bộ điểm rơi

Mình xem phép làm câu 1 ạ. 

Đề là?

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)(1)

Chứng minh tương đương 

\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)<=> 12ac - 9bc  - 9ab + 6b² \(\le\)0 ( quy đồng )  (2)

Từ (1) <=> 2ac = ab + bc  Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc  - 9ab + 6b²  \(\le\)0 

<=> a + c \(\ge\)2b 

Từ (1) => \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)

=> a + c \(\ge\)2b đúng => BĐT ban đầu đúng

Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b

Quy định của hoc24 là chỉ dc dăng 1 bài trong 1 câu hỏi bạn nhé

bài 1 :

 Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c và có chu vi là 2 
--> a + b + c = 2 

Trong 1 tam giác thì ta có: 
a < b + c 

--> a + a < a + b + c 
--> 2a < 2 
--> a < 1 

Tương tự ta có : b < 1, c < 1 

Suy ra: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0 
⇔
(1 – b – a + ab)(1 – c) > 0 
⇔
1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0 
⇔
1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc 

Nên abc < -1 + ab + bc + ca 
⇔
2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca 
⇔
a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2 
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2 

--> đpcm 

Câu 1

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow N=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Câu 2:

\(P=a+\dfrac{1}{a}+2b+\dfrac{8}{b}+3c+\dfrac{27}{c}+4\left(a+b+c\right)\\ P\ge2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+2\sqrt{81}+4\cdot6=2+8+18+4=32\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)

Câu 3: Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [ -1;2 ] thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=6.\) CMR : \(a+b+c>0\) - Hoc24

Cho a = 1; b =0,5; c = 0,5 

1^2+0,5^2+0,5^2=1+0,25+0,25=1,5

Ko hieu đề 

Ta có: a+b+c=1 <=>(a+b+c)2 = 1 <=> ab+bc+ca=0 (1)
Theo dãy tỉ số bằng nhau ta có:
xa=yb=zc=x+y+za+b+c=x+y+z1=x+y+zxa=yb=zc=x+y+za+b+c=x+y+z1=x+y+z
<=> x = a(x+y+z) ; y = b(x+y+z) ; z = c(x+y+z)
=> xy+yz+zx= ab(x+y+z)2+bc(x+y+z)2+ca(x + y + z)2
<=> xy+yz+zx =(ab+bc+ca)(x+y+z)2 (2)
từ (1) và (2) => xy + yz + zx = 0