Bài 1
Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)
Biến đổi:
\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)
\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)
\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)
\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Vì \(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)
\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.
Bài 2a)
Ta có
\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)
\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)
Vì \(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)
\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó
Câu 2b)
Đặt \((a,b,c)\mapsto(x-1,y-1,z-1)\)
Khi đó ta có \(0\leq x,y,z\leq 3,x+y+z=3\)
Cần cm
\(2(x-1)(y-1)(z-1)\leq (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\leq 2(x-1)(y-1)(z-1)+2\)
Vế đầu:
Khai triển kết hợp với $x+y+z=3$ thì \(\text{BĐT}\Leftrightarrow xyz\leq 1\)
Điều này đúng vì theo AM-GM cho số không âm thì \(3=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\rightarrow xyz\leq 1\)
Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=0$
Vế sau:
Tương tự phần trên \(\text{BĐT}\Leftrightarrow xyz\geq 0\) ( luôn đúng do $x,y,z\geq 0$)
Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(2,-1,-1)$ và hoán vị
Lưu ý: "Khi" khác với "khi và chỉ khi"- nghĩa là chỉ nêu 1TH chứ chưa quét hết toàn bộ điểm rơi
Câu 2c
Sử dụng cách đặt giống như câu 2b
BĐT cần chứng minh tương đương với
\((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+(x-1)(y-1)(z-1)\leq 8\)
\(\Leftrightarrow xyz\leq 3(xy+yz+xz)\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho ba số $x,y,z$ không âm
\(3(xy+yz+xz)=(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz\geq xyz\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $(x,y,z)=(2,-1,-1)$ và hoán vị của nó.
