§1. Bất đẳng thức

Yeutoanhoc

`a,b,c>0,a+b+c=6`

`CM:3(a^2+b^2+c^2)+2abc>=52`

Được sử dụng schur nha!!

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 5 2021 lúc 22:39

Sử dụng Dirichlet và biến đổi là được, không cần tới Schur:

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với 2, ko mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b

\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\Rightarrow ab\ge2a+2b-4\Rightarrow2abc\ge4ac+4bc-8c\)

\(\Rightarrow P\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+4ac+4bc-8c=2\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b\right)^2+c^2-8c-2ab\)

\(\Rightarrow P\ge c^2-8c-2ab+72\ge c^2-8c-\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+72\)

\(\Rightarrow P\ge c^2-8c-\dfrac{1}{2}\left(6-c\right)^2+72=\dfrac{1}{2}\left(c-2\right)^2+52\ge52\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Bình luận (1)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Minh Tuấn
Xem chi tiết
Anxiety
Xem chi tiết
Phạm Lợi
Xem chi tiết
Nhiên An
Xem chi tiết
Phuong Tran
Xem chi tiết
Lê Huy Hoàng
Xem chi tiết
Ann Yoongii
Xem chi tiết
Linh Châu
Xem chi tiết
Quỳnh Nguyễn Thị Ngọc
Xem chi tiết