Question

`a,b,c>0,a+b+c=6`

`CM:3(a^2+b^2+c^2)+2abc>=52`

Được sử dụng schur nha!!

Answer 1

Sử dụng Dirichlet và biến đổi là được, không cần tới Schur:

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với 2, ko mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b

\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(b-2\right)\ge0\Rightarrow ab\ge2a+2b-4\Rightarrow2abc\ge4ac+4bc-8c\)

\(\Rightarrow P\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+4ac+4bc-8c=2\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b\right)^2+c^2-8c-2ab\)

\(\Rightarrow P\ge c^2-8c-2ab+72\ge c^2-8c-\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+72\)

\(\Rightarrow P\ge c^2-8c-\dfrac{1}{2}\left(6-c\right)^2+72=\dfrac{1}{2}\left(c-2\right)^2+52\ge52\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)