a)\(\sin\alpha=\dfrac{9}{15}\Rightarrow\sin^2\alpha=\dfrac{81}{225}\)

Có: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(\Rightarrow\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\dfrac{81}{225}=\dfrac{144}{225}\)

\(\Rightarrow\cos\alpha=\sqrt{\dfrac{144}{225}}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{9}{15}:\dfrac{4}{5}=\dfrac{3}{4}\)

\(\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\tan\alpha}=\dfrac{4}{5}:\dfrac{9}{15}=\dfrac{4}{3}\)

b)\(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\Rightarrow\cos^2\alpha=\dfrac{9}{25}\)

Có: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(\Rightarrow\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\)

\(\Rightarrow\sin\alpha=\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{4}{5}:\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{3}\)

\(\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{3}{5}:\dfrac{4}{5}=\dfrac{3}{4}\)

Final – year students are naturally anxious about getting work after graduation. The word anxious means: ____
A. careful B. excited C. worried D. interested

1/\(A=\dfrac{x^2-2x+2014}{x^2}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{2014x^2-2.x.2014+2014^2}{2014x^2}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{2013x^2+x^2-2.x.2014+2014^2}{2014x^2}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{2013x^2+\left(x-2014\right)^2}{2014x^2}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{\left(x-2014\right)^2}{2014x^2}\)

Có: \(\left(x-2014\right)^2\ge0\forall x\)

\(2014x^2>0\forall xvìx\ne0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x-2014\right)^2}{2014x^2}\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{2013}{2014}+\dfrac{\left(x-2014\right)^2}{2014x^2}\ge\dfrac{2013}{2014}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{2013}{2014}\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 2014 =0 <=> x = 2014

Vậy \(min_A=\dfrac{2013}{2014}\Leftrightarrow x=2014\)

2) Ta có:

\(x=\sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}+\sqrt{a-\sqrt{a^2-1}}\)

\(\Leftrightarrow x^2=a-\sqrt{a^2-1}+2\sqrt{a-\sqrt{a^2-1}}.\sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}+a+\sqrt{a^2-1}\)

\(\Leftrightarrow x^2=2a+2.\sqrt{\left(a-\sqrt{a^2-1}\right)\left(a+\sqrt{a^2-1}\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^2=2a+2\sqrt{a^2-\left(a^2-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^2=2a+2=2\left(a+1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^3=-2\left(a+1\right)x\)

Đặt \(A=x^3-2x^2-2\left(a+1\right)x+4x+2021\)

\(\Leftrightarrow A=x^3-2\left(2a+2\right)-x^3+4a+2021\)

\(\Leftrightarrow A=-4a-4+4a+2021\)

\(\Leftrightarrow A=2017\)

\(\sqrt{x+5}-y^3=\sqrt{y+5}-x^3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+5}-\sqrt{y+5}+x^3-y^3=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{x+5}-\sqrt{y+5}\right)\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}\right)}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}+\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+5\right)-\left(y+5\right)}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}+\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-y}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}+\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}+x^2+xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-y=0\) và\(\dfrac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}}+x^2+xy+y^2>0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Khi đó: \(P=x^2-3xy+12-y^2+2018\)

\(\Leftrightarrow P=x^2-3x^2+12-x^2+2018\)

\(\Leftrightarrow P=2030-3x^2\le2030\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=0

vậy maxP=2030 khi và chỉ khi x=y=0

Bạn tự vẽ hình nha:

a) Có AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC

=>\(AD\perp BC;BE\perp AC;CF\perp AB\)

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o\)

tứ giác BFEC có F và E là 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn đoạn BC dưới góc 90^okhông đổi.

=> tứ giác BFEC nội tiếp.

tứ giác DHEC có \(\widehat{HDC}+\widehat{HEC}=90^o+90^o=180^o\)

=> tứ giác DHEC nội tiếp.

b) tứ giác BFEC nội tiếp (cmt)

=> \(\widehat{FEH}=\widehat{NBC}\)(cùng chắn cung BF)

lại có : \(\widehat{NBC}=\widehat{NMH}\)( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung BN)

=> góc FEH = góc NMH

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=>\(\)EF//MN.

c) kẻ đường kính AK

=>\(\widehat{ACK}=90^o\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Delta ABD\) và \(\Delta AKC\) có:

\(\widehat{ABD}=\widehat{AKC}\)(cùng chắn cung AC)

\(\widehat{ADB}=\widehat{ACK}=90^o\)

=> \(\Delta ABD\sim\Delta AKC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AC}\)

=> AB.AC=AK.AD

=>AB.AC=2R.AD

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

\(x^2=ax+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-ax-3=0\)

có \(\Delta=\left(-a\right)^2-4.1.\left(-3\right)=a^2+12\ge12>0\forall a\)

=> phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1,x2

theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=a\left(1\right)\\x_1x_2=-3\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

mà \(x_1+2x_2=3\left(3\right)\)

Từ (1) và (3) ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=a\\x_1+2x_2=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=3-a\\x_1+x_2=a\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=2a-3\\x_2=3-a\end{matrix}\right.\)

Theo (2) ta có:

\(x_1x_2=-3\Leftrightarrow\left(2a-3\right)\left(3-a\right)=-3\)

\(\Leftrightarrow6a-2a^2-9+3a=-3\)

\(\Leftrightarrow2a^2-9a+6=0\)

\(\Delta=\left(-9\right)^2-4.2.6=81-48=33>0\)

\(\Rightarrow a_1=\dfrac{9+\sqrt{33}}{4};a_2=\dfrac{9-\sqrt{33}}{4}\)

Vậy \(a\in\left\{\dfrac{9+\sqrt{33}}{4};\dfrac{9-\sqrt{33}}{4}\right\}\)để x1+2x2=3

\(\sqrt[3]{x^3+8}=x+2\)

\(\Leftrightarrow x^3+8=\left(x+2\right)^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+8=x^3+6x^2+12x+8\)

\(\Leftrightarrow6x^2+12x=0\)

\(\Leftrightarrow6x\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{0;-2\right\}\)

a) Có:\(\widehat{BMC}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

=> \(\widehat{BME}=90^o\)

Lại có : \(AB\perp AE\Rightarrow\widehat{BAE}=90^o\)

tứ giác ABME có: \(\widehat{BAE}+\widehat{BME}=90^o+90^o=180^o\)

=> tứ giác ABME nội tiếp.

b) Có: \(\widehat{BNC}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

hay \(\widehat{ENC}=90^o\)

=>\(\widehat{EAC}=\widehat{ENC}=90^o\)

tứ giác AECN có A và N là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn đoạn EC dưới một góc 90^o không đổi.

=> tứ giác AECN nội tiếp

=> góc AEN = góc ACN (cùng chắn cung AN) (1)

tứ giác ABME nội tiếp (cmt)

=> góc AEB = góc AMB (cùng chắn cung AB) (2)

từ (1) và (2) suy ra góc AMB = góc ACN

c) có \(\widehat{AMB}=\widehat{BCM}\)( cùng chắn cung BM)

mà \(\widehat{AMB}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{BCM}=\widehat{ACN}\) (3)

tứ giác AECN nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ANB}=\widehat{BCM}\)( cùng chắn cung AE) (4)

từ (3) và (4) suy ra :

\(\widehat{ANB}=\widehat{ACN}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{BN}\)

=> AN là tiếp tuyến của (O;R)

That book which I put on the table is mine.