\(\dfrac{n}{2n-1}>\dfrac{n}{2n}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x_{n+1}>\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{x_n^2+2}{x_n}\right)\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{2\sqrt{2x_n^2}}{x_n}=\sqrt{2}\)

Dãy bị chặn dưới bởi \(\sqrt{2}\)

Ta sẽ chứng minh dãy đã cho là dãy giảm, hay \(x_{n+1}-x_n< 0\) với \(n>1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{n}{2n-1}\left(\dfrac{x_n^2+2}{x_n}\right)-x_n< 0\Leftrightarrow\left(1-n\right)x_n^2+2n< 0\)

\(\Leftrightarrow x_n^2>\dfrac{2n}{n-1}\Leftrightarrow x_n>\sqrt{\dfrac{2n}{n-1}}\)

Do \(x_n=\dfrac{n-1}{2\left(n-1\right)-1}.\left(\dfrac{x_{n-1}^2+2}{x_{n-1}}\right)=\dfrac{n-1}{2n-3}.\left(\dfrac{x_{n-1}^2+2}{x_{n-1}}\right)\ge\dfrac{2\sqrt{2}\left(n-1\right)}{2n-3}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{2\sqrt{2}\left(n-1\right)}{2n-3}>\sqrt{\dfrac{2n}{n-1}}\)

\(\Leftrightarrow6n-8>0\) (đúng)

Vậy dãy đã cho là dãy giảm

Dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn

Gọi giới hạn của dãy là L, lấy giới hạn 2 vế biểu thức truy hồi:

\(\lim\left(x_{n+1}\right)=\lim\left(\dfrac{n}{2n-1}.\dfrac{x_n^2+2}{x_n}\right)\Rightarrow L=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{L^2+2}{L}\right)\)

\(\Rightarrow L^2=2\Rightarrow L=\sqrt{2}\)

a.

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{4+x}-2}{4x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(\sqrt{4+x}-2\right)\left(\sqrt{4+x}+2\right)}{4x\left(\sqrt{4+x}+2\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x}{4x\left(\sqrt{4+x}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{4\left(\sqrt{4+x}+2\right)}=\dfrac{1}{4\left(\sqrt{4+0}+2\right)}=\dfrac{1}{16}\)

b.

\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt[3]{x+7}-2}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(\sqrt[3]{x+7}-2\right)\left(\sqrt[3]{\left(x+7\right)^2}+2\sqrt[3]{x+7}+4\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt[3]{\left(x+7\right)^2}+2\sqrt[3]{x+7}+4\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x-1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt[3]{\left(x+7\right)^2}+2\sqrt[3]{x+7}+4\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(x+7\right)^2}+2\sqrt[3]{x+7}+4}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt[3]{8^2}+2\sqrt[3]{8}+4}=\dfrac{1}{12}\)

Lời giải:

$A=1+\frac{1}{\sqrt{x}-3}$

Để $A$ max thì $\sqrt{x}-3$ phải dương và nhỏ nhất. 

Với $x$ nguyên, để $\sqrt{x}-3$ dương và nhỏ nhất thì $x=10$

Khi đó, $A_{\max}=1+\frac{1}{\sqrt{10}-3}=4+\sqrt{10}$

------------------

$B=1+\frac{1}{\sqrt{x}-2}$.

Lập luận tương tự phần a, ta thấy với $x$ nguyên không âm thì $\sqrt{x}-2$ đạt giá trị dương nhỏ nhất tại $x=5$

$\Rightarrow B_{\max}=1+\frac{1}{\sqrt{5}-2}=3+\sqrt{5}$

D

C

B

D

A

Lời giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng ban đầu là $a$ và $a-25$ (m) 

Diện tích ban đầu: $a(a-25)$

Diện tích sau thay đổi: $(a-25)(a-25)$

Theo bài ra: $a(a-25)-(a-25)(a-25)=1000$

$\Leftrightarrow (a-25)[a-(a-25)]=1000$

$\Leftrightarrow 25(a-25)=1000$

$\Leftrightarrow a-25=40$

$\Leftrightarrow a=65$ (m) 

Vậy mảnh đất ban đầu có chiều dài 65 m, chiều rộng 40 m 

6.4

\(y=\dfrac{3}{2}\left(1+cos2x\right)-\sqrt{3}sin2x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cos2x\)

\(=cos2x-\sqrt{3}sin2x+2\)

\(=2\left(\dfrac{1}{2}cos2x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x\right)+2\)

\(=2cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)+2\)

Do \(-1\le cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\le1\)

\(\Rightarrow0\le y\le4\)

\(y_{min}=0\) khi \(cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-1\)

\(y_{max}=4\) khi \(cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1\)

6.5

Ủa nhìn bài 7 thì đây là chương trình lớp 11 (pt lượng giác) chứ đâu phải lớp 10?

Vậy giải theo kiểu lớp 11 nghe:

\(y=\dfrac{2+cosx+3sinx}{2+cosx}\)

\(\Leftrightarrow2y+y.cosx=2+cosx+3sinx\)

\(\Leftrightarrow3sinx+\left(1-y\right).cosx=2y-2\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

\(9+\left(1-y\right)^2\ge\left(2y-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\le3\)

\(\Rightarrow1-\sqrt{3}\le y\le1+\sqrt{3}\)

7.

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left[\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\right]+cos4x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(1-3sin^2x.cos^2x\right)+cos4x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(1-\dfrac{3}{4}sin^22x\right)+cos4x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(1-\dfrac{3}{8}\left(1-cos4x\right)\right)+cos4x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{8}cos4x\right)+cos4x=0\)

\(\Leftrightarrow5\left(m+1\right)+\left(3m+11\right)cos4x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3m+11\right)cos4x=-5\left(m+1\right)\)

- Với \(m=-\dfrac{11}{3}\) pt vô nghiệm

- Với \(m\ne-\dfrac{11}{3}\)

\(\Rightarrow cos4x=\dfrac{-5\left(5m+1\right)}{3m+11}\)

Do \(-1\le cos4x\le1\) nên pt có nghiệm khi:

\(-1\le\dfrac{-5\left(m+1\right)}{3m+11}\le1\)

Tới đây chắc bạn tự làm tiếp được đúng ko? Tách ra làm 2 BPT rồi sau đó giao nghiệm thôi

\(=\sqrt{9y^4}=3y^2\)