\(\dfrac{n}{2n-1}>\dfrac{n}{2n}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x_{n+1}>\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{x_n^2+2}{x_n}\right)\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{2\sqrt{2x_n^2}}{x_n}=\sqrt{2}\)
Dãy bị chặn dưới bởi \(\sqrt{2}\)
Ta sẽ chứng minh dãy đã cho là dãy giảm, hay \(x_{n+1}-x_n< 0\) với \(n>1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{n}{2n-1}\left(\dfrac{x_n^2+2}{x_n}\right)-x_n< 0\Leftrightarrow\left(1-n\right)x_n^2+2n< 0\)
\(\Leftrightarrow x_n^2>\dfrac{2n}{n-1}\Leftrightarrow x_n>\sqrt{\dfrac{2n}{n-1}}\)
Do \(x_n=\dfrac{n-1}{2\left(n-1\right)-1}.\left(\dfrac{x_{n-1}^2+2}{x_{n-1}}\right)=\dfrac{n-1}{2n-3}.\left(\dfrac{x_{n-1}^2+2}{x_{n-1}}\right)\ge\dfrac{2\sqrt{2}\left(n-1\right)}{2n-3}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{2\sqrt{2}\left(n-1\right)}{2n-3}>\sqrt{\dfrac{2n}{n-1}}\)
\(\Leftrightarrow6n-8>0\) (đúng)
Vậy dãy đã cho là dãy giảm
Dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn
Gọi giới hạn của dãy là L, lấy giới hạn 2 vế biểu thức truy hồi:
\(\lim\left(x_{n+1}\right)=\lim\left(\dfrac{n}{2n-1}.\dfrac{x_n^2+2}{x_n}\right)\Rightarrow L=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{L^2+2}{L}\right)\)
\(\Rightarrow L^2=2\Rightarrow L=\sqrt{2}\)
giúp em với mọi người ơi:(