Cho các số thực x,y,z thỏa mãn \(0\le x,y,z\le2\) và \(x+y+z=5\). Tìm GTNN của \(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
cho các số thực x,y,z thỏa mãn \(0\le x,y,z\le2\) và \(x+y+z=5\). tìm GTNN của A=\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử \(x\ge y\ge z\).Khi đó:
\(5=x+y+z\le3x\le6\Leftrightarrow\frac{5}{3}\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)(*)
Mặt khác, vì \(0\le y,z\le2\)nên \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)\ge0\Leftrightarrow yz\ge2\left(y+z\right)-4\)
\(\Leftrightarrow yz\ge2\left(5-x\right)-4=6-2x\)
Do đó:
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{3-x+2\sqrt{2}\sqrt{3-x}+2}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\)
Vì \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\right)^2=x+2\sqrt{x\left(3-x\right)}+3-x\)
\(=3+2\sqrt{3x-x^2}=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2-x\right)+2}\ge3+2\sqrt{2}\)
\(=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)(vì \(\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)theo (*)) nên \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ge\sqrt{2}+1\)
Vậy \(A\ge2\sqrt{2}+1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}0\le x,y,z\le2;x+y+z=5\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\\yz=6-2x\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2;z=1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2\sqrt{2}+1\)đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,1\right)\)và các hoán vị
ngu thế mà tao cũng ko bt
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: \(0\le x,y,z\le2\) và \(x+y+z=5\).
Tìm GTNN của biểu thức: \(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Ta có: \(2\sqrt{2}-1< \sqrt{5}\)
\(A^2=x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+yz+zx\right)=5+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\ge5\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{5}>2\sqrt{2}-1\Rightarrow A-2\sqrt{2}+1>0\)
\(0\le x;y;z\le2\Rightarrow0\le\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{y}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\ge2\sqrt{2}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)-6=2\sqrt{2}A-6\)
\(\Rightarrow A^2\ge5+2\left(2\sqrt{2}A-6\right)\)
\(\Leftrightarrow A^2-4\sqrt{2}A+7\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(A-2\sqrt{2}+1\right)\left(A-2\sqrt{2}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow A-2\sqrt{2}-1\ge0\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{2}+1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;2\right)\) và hoán vị
cho các số thực x,y,z thỏa mãn 0<=x,y,z<=3
tìm gtnn của A= \(\sqrt{x^2+y^2-2xy}+\sqrt{Y^2-z\left(z-2y\right)}+\sqrt{x^2+z\left(z-2x\right)}\)
Ta có :
\(A=\sqrt{\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(y-z\right)^2}+\sqrt{\left(z-x\right)^2}\)
\(=\left|x-y\right|+\left|y-z\right|+\left|z-x\right|\)
không mất tính tổng quát, giả sử \(0\le z\le y\le x\le3\)
Khi đó : A = x - y + y - z + x - z = 2x - 2z
vì \(0\le z\le x\le3\)nên : \(2x\le6;-2z\le0\Rightarrow2x-2z\le6\)
\(\Rightarrow A\le6\)
Vậy GTNN của A là 6 khi x = 3 ; z = 0 và y thỏa mãn \(0\le y\le3\)và các hoán vị
với x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=3.Tìm GTNN của
P=\(\dfrac{x}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{32}\)
Với các số thực x>1, y>2, z>3 thỏa mãn x+y+z= 28 tìm GTNN của biểu thức P=
\(\sqrt{x-1}\) + \(2\sqrt{y-4}\) + \(3\sqrt{z-9}\)
Biểu thức này chỉ có GTLN, ko có GTNN
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn \(0\le x,y,z\le2\) và \(x+y+z=5.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)
Ta có: \(0\le x,y,z\le2\) và \(x+y+z=5\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=2\\z=1\end{matrix}\right.\)$;$\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=z=2\end{matrix}\right.;\left[{}\begin{matrix}x=z=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
\(\rightarrow A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\) có $GTNN$ của $A$ là \(\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{1}=2\sqrt{2}+1\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn:\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{x^2+z^2}=2015\)
tìm GTNN của bt: T= \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
bn tìm đề thi hsg tỉnh thanh hóa lớp 9 năm nào đó là thấy
bài này dài,ngại làm
đặt là được
Câu hỏi của Hoàng Gia Anh Vũ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
cho x,y,z là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y+z>= 12
tìm GTNN của A = \(\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
Ta có : \(A^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số dương,ta có ;
\(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2.x^2.y.z}{yz}}=4x\)
Tương tự : ....
\(\Rightarrow A^2\ge4\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)=3\left(x+y+z\right)\ge36\)
\(\Rightarrow A\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 4
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)
Khi đó \(a^2+b^2+c^2\ge12\) ta cần tìm GTNN của \(A=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\sqrt{\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\left(a+b+c\right)}\)
Ta có:\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
Mà \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) ( cơ bản )
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge12-\left(a+b+c\right)\)
Chứng minh được \(a+b+c\le6\) là OKE nhưng có vẻ không ổn lắm :))
cho các số thực x,y,z thỏa mãn \(\left(x-y +z\right)^2\)+\(\sqrt{y^4}\)+\(\left|1-z^3\right|\) \(\le\) 0
Chứng minh rằng \(x^{2023}\)+\(y^{2024}\)+\(z^{2025}\)=0
Lời giải:
Ta thấy, với mọi $x,y,z$ là số thực thì:
$(x-y+z)^2\geq 0$
$\sqrt{y^4}\geq 0$
$|1-z^3|\geq 0$
$\Rightarrow (x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|\geq 0$ với mọi $x,y,z$
Kết hợp $(x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|\leq 0$
$\Rightarrow (x-y+z)^2+\sqrt{y^4}+|1-z^3|=0$
Điều này xảy ra khi: $x-y+z=y^4=1-z^3=0$
$\Leftrightarrow y=0; z=1; x=-1$