Xét tứ giác AMHN có:  A M H ^ + A N H ^ = 90 0 + 90 0 = 180 0 => Đpcm

Xét tứ giác BNMC có:  B N C ^ = B M C ^ = 90 0 => Đpcm

Vì BM, CN là 2 đường cao ứng vs AC, AB (gt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\) = 90^o

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\) = 90^o (H \(\in\) BM; H \(\in\) CN do BM \(\cap\) CN tại H)

Xét tứ giác ANHM có: \(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}\)

\(\widehat{AMH}\) và \(\widehat{ANH}\) là 2 góc đối nhau (gt)

\(\Rightarrow\) ANHM là tứ giác nội tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)

Vì BM, CN là 2 đường cao ứng vs AC, AB (gt)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{BNC}=\widehat{CMB}\) = 90^o

Mà \(\widehat{BNC}\) và \(\widehat{CMB}\) đều nhìn cạnh BC với một góc 90^o (cmt)

\(\Rightarrow\) BNMC là tứ giác nột tiếp (dhnb tứ giác nội tiếp)

Chúc bn học tốt!

Gọi O là trung điểm của AH

Ta có: ΔANH vuông tại N(HN⊥AB tại N)

mà NO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(O là trung điểm của AH)

nên \(NO=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)

Ta có: ΔAMH vuông tại M(HM⊥AC tại M)

mà MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(O là trung điểm của AH)

nên \(MO=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Ta có: O là trung điểm của AH(cmt)

nên \(AO=OH=\dfrac{AH}{2}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OA=ON=OM=OH

⇔A,H,M,N∈(O)

hay tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn(O)

Gọi D là trung điểm của BC

Ta có: ΔCBN vuông tại N(CN⊥AB tại N)

mà ND là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(D là trung điểm của BC)

nên \(ND=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(4)

Ta có: ΔMBC vuông tại M(MB⊥AC tại M)

mà MD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(D là trung điểm của BC)

nên \(MD=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(5)

Ta có: D là trung điểm của BC(theo cách gọi)

nên \(BD=DC=\dfrac{BC}{2}\)(6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra DB=DC=DN=DM

⇔B,C,N,M∈(D)

hay tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn(D)(đpcm)

a: Xét tứ giác BNMC có 

\(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\)

Do đó: BNMC là tứ giác nội tiếp

hay B,N,M,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét ΔAMB vuông tại M và ΔANC vuông tại N có 

\(\widehat{NAC}\) chung

Do đó: ΔAMB\(\sim\)ΔANC

Suy ra: \(\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}\)

hay \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)

Xét ΔAMN và ΔABC có

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)

\(\widehat{NAC}\) chung

Do đó: ΔAMN\(\sim\)ΔABC

a: góc ANH+góc AMH=180 độ

=>AMHN nội tiếp

b: Tham khảo

Tứ giác MCDE nội tiếp nên góc MED = 180 - C (1).

Tứ giác NBDE nội tiếp nên góc NED = 180 - B (2).

Mà góc MEN = 360 - MED - NED (3).

Thay (1), (2) vào (3) được: góc MEN = 360 - (180 - C) - (180 - B) = B +C = 180 - A.

Suy ra MEN + MAN =180. Vậy tứ giác MENA nội tiếp.

=>E thuộc đường tròn ngoại tiếp ΔAMN

a: Xét ΔABC có

BM là đường cao

CN là đường cao

BM cắt CN tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

b: Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=180^0\)

nên AMHN là tứ giác nội tiếp

c: Xét tứ giác BCMN có \(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\)

nên BCMN là tứ giác nội tiếp

a: Xét (O) có

ΔABM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔABM vuông tại B

=>BM\(\perp\)AB

mà CH\(\perp\)AB

nên CH//BM

Xét (O) có

ΔACM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔACM vuông tại C

=>AC\(\perp\)CM

mà BH\(\perp\)AC

nên BH//CM

Xét tứ giác BHCM có

BH//CM

BM//CH

Do đó: BHCM là hình bình hành

b:

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại D

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{BAN}=90^0\)(ΔADB vuông tại D)

\(\widehat{AMC}+\widehat{MAC}=90^0\)(ΔACM vuông tại C)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)

nên \(\widehat{BAN}=\widehat{MAC}\)

Xét (O) có

ΔANM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔANM vuông tại N

=>AN\(\perp\)NM

mà AN\(\perp\)BC

nên BC//NM

Ta có: \(\widehat{CHD}=\widehat{ABC}\)(=90 độ-góc FCB)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ANC}\)

Do đó: \(\widehat{CHD}=\widehat{ANC}\)

=>ΔCHN cân tại C

=>CH=CN

mà CH=BM

nên BM=CN

Xét tứ giác BCMN có BC//MN

nên BCMN là hình thang

Hình thang BCMN có BM=CN

nên BCMN là hình thang cân